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polinomio

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In matematica, somma di monomi (in senso proprio, solo con riferimento a monomi interi), detti termini del p.: binomio, trinomio, quadrinomio ecc., è un polinomio rispettivamente di 2, 3, 4 ecc. termini; coefficienti di un p. sono i coefficienti dei suoi monomi; grado di un p. rispetto a una lettera è il massimo grado, rispetto a quella lettera, dei monomi che lo compongono; il grado complessivo di un p. (o semplicemente il suo grado), rispetto a tutte le variabili, è il maggiore dei gradi dei suoi monomi, gradi valutati anch’essi rispetto al complesso delle variabili. Si ha un p. omogeneo quando tutti i termini hanno lo stesso grado; un p. ridotto quando siano stati sommati eventuali termini simili. Un p. di grado n in una variabile x si indica di solito con la scrittura

formula

essendo a0 il coefficiente direttore del polinomio. Un p. in r variabili di grado n si indica invece abitualmente con il simbolo

formula

dove an1n2…nr sono coefficienti e la somma va estesa a tutti i valori interi non negativi di n1, n2, …, nr tali che n1+n2+…+nr≤n; se il p. è ridotto, il numero complessivo dei suoi termini è espresso dal coefficiente binomiale (r + nn ) purché si tenga conto anche di eventuali termini nulli.

Anello dei p. in una indeterminata

I p. con coefficienti in un anello A e con un’unica variabile x (che si chiama, per lo più, indeterminata) hanno una struttura di anello che si indica con A [x] e si chiama anello dei p. in un’indeterminata su A. Molte proprietà dell’anello A (dette teoremi di trasporto) si ritrovano in A [x], come: a) il fatto che A [x] sia dotato di unità; b) che A [x] sia commutativo; c) che A [x] sia euclideo, ossia che in esso valga l’algoritmo euclideo delle divisioni successive (➔ Euclide); d) che A [x] sia principale ossia che ogni suo ideale sia costituito dai multipli di un opportuno elemento di A [x].

Anello dei p. in più indeterminate

I p. con coefficienti in un anello A e con 2, 3 o più indeterminate costituiscono ancora degli anelli che si indicano, a seconda dei casi, con A [x, y], A [x, y, z] ecc. Valgono ancora, come nel caso di una sola indeterminata, teoremi di trasporto. C’è tuttavia una differenza importante rispetto al caso di una sola variabile, e cioè che gli anelli A [x, y] ecc. non sono più principali. La nozione di ideale dei p. in più indeterminate ha grande importanza perché è alla base della definizione di varietà algebrica (➔ varietà).

P. di Čebyšev

Sono particolari p. di notevole importanza nella teoria dell’interpolazione. Precisamente, considerato un intervallo (a, b) dell’asse reale, si chiama p. di Čebyšev di ordine n relativo ad (a, b) e si indica con Cn(x) il p. monico (cioè un p. in una variabile il cui coefficiente direttore è uguale a 1), di ordine n, caratterizzato dal fatto di avere, tra tutti i p. monici del suo stesso ordine, il massimo del valore assoluto (relativamente all’intervallo a, b) più piccolo possibile. L’espressione analitica di Cn(x) è

formula

che, nel caso che l’intervallo sia (−1, 1), si semplifica in cos(n arccosx)/22n–1; il massimo del modulo di Cn(x) è rispettivamente (b−a)n/22n–1 oppure 1/2n−1. I p. di Čebyšev relativi all’intervallo (−1, 1) sono ortogonali rispetto al peso (1 − x2)–1/2, e sono definiti per ricorrenza nel modo seguente: C0(x)=1, C1(x)=x, Cn+1=2xCn(x)−Cn−1 (x), (n=1, 2 …). In ogni caso, Cn(x) ha n zeri reali tutti situati nell’intervallo base. L’importanza dei p. di Čebyšev è in relazione al problema di interpolare una data funzione f(x) mediante una successione di p. che converga uniformemente a f(x) nell’intervallo base considerato. Si tratta di sapere dove conviene scegliere i nodi dell’interpolazione, ossia i punti dell’asse x in relazione ai quali i p. interpolanti abbiano la medesima ordinata della funzione f(x). È stato stabilito da S.N. Bernštejn che se la funzione f(x) ha derivata prima limitata nell’intervallo base e se i nodi di interpolazione per il p. interpolante di ordine n si scelgono proprio nei nodi del p. di Čebyšev Cn, allora si è certi che la successione dei p. interpolanti converge uniformemente a f(x).

P. irriducibili

Un p. P(x) con coefficienti in un campo K si dice irriducibile su K se non può ottenersi come prodotto di due p. P1(x) e P2(x) anch’essi con coefficienti in K e di grado inferiore al grado di P(x). L’irriducibilità di un p. P(x) dipende in maniera essenziale dal campo K, e può accadere che un p. irriducibile in K divenga riducibile in un sopracampo K′ di K; così, x2−2 è irriducibile nel campo razionale ma è riducibile e uguale a

formula

nel campo reale.

P. ortogonali

Un insieme di p. ortogonali è ogni insieme (finito o infinito) di p. che, relativamente a un certo intervallo (a, b) dell’asse reale, siano funzioni ortogonali, ossia tali che il prodotto di due qualunque di essi abbia integrale nullo su (a, b). Una proprietà generale dei p. ortogonali è che i loro zeri sono tutti reali, differenti l’uno dall’altro e contenuti nell’intervallo base (a, b). I p. ortogonali hanno applicazioni in varie questioni di analisi numerica: così talora, dovendosi approssimare una data funzione f(x) con uno sviluppo in serie, può essere preferibile utilizzare non una serie di Taylor ma una serie i cui termini siano appunto p. ortogonali di un particolare tipo, per es., i p. di Čebyšev.

P. trigonometrico

È ogni p. nelle funzioni seno e coseno: per es., cost+sen2t+cos3t. Un p. del genere si scrive abitualmente nella forma:

formula

l’intero k si chiama grado del p. trigonometrico considerato.

Formula del polinomio

È la formula, detta anche formula di Leibniz, che generalizza la formula del binomio e dà lo sviluppo della potenza n-ma di un p.:

formula

ove la sommatoria è estesa a tutti i valori dei numeri interi, non negativi, k1…kr, tali che k1+k2+…+kr = n. I numeri n!/(k1!k2! … kr!) si chiamano coefficienti o numeri polinomiali. Il numero dei termini dello sviluppo è, in generale, (r + n − 1n ). La formula del p. (come del resto quella del binomio) non vale se l’anello A nel quale si opera non è commutativo: in questo caso infatti non è possibile in generale eseguire la riduzione dei termini simili. Viceversa, se A, oltre a essere commutativo, ammette divisori dello zero, la formula può risultare ulteriormente semplificata.

Zeri di un polinomio

Sono le radici dell’equazione algebrica che si ottiene uguagliando a zero il p. stesso. Se il p. viene considerato nel corpo complesso C i suoi zeri sono tanti quant’è il grado del p. (teorema fondamentale dell’algebra), ma ciò non è più vero se a C si sostituisce un anello A. A questo proposito: a) se A è commutativo e privo di divisori dello zero, un p. di grado n a coefficienti in A ha al massimo n zeri in A, ma può non averne nessuno: si pensi, per es., a un qualsiasi p. a coefficienti reali; b) se A è commutativo ma ha divisori dello zero, un p. di grado n può avere più di n zeri ma può ancora viceversa non averne nessuno: per es., nell’anello Z15 delle classi resto modulo 15, il p. x2−1 ha quattro zeri, e cioè 1, 4, 11, 14 (in effetti, 12−1 = 0; 42−1, 112−1 e 142−1 sono interi divisibili per 15 e perciò sono nulli in Z15); viceversa, nell’anello Z4 il polinomio x3+2x+2 non ha nessuno zero e infatti per i valori 0, 1, 2, 3 della variabile x assume rispettivamente i valori 2, 1, 2, 3; c) se A non è commutativo, un p. può avere addirittura infiniti zeri: per es., nel corpo H dei quaternioni il p. x2+1 ha come zeri tutti i quaternioni privi di parte reale e con modulo unitario.

Per il p. caratteristico di una matrice ➔ matrice; per il p. di Hermi;te ➔ Hermite, Charles; per i p. di Laguerre ➔ Laguerre, Edmond-Nicolas; per i p. di Legendre ➔ Legendre, Adrien-Marie.

Vedi anche
irriducibile In matematica, un polinomio, in una o più variabili, con coefficienti reali, si dice i. nel campo reale se esso non si può decomporre nel prodotto di due o più polinomi (non ridotti a delle costanti), aventi anch’essi coefficienti reali. In generale, un polinomio f, in una o più variabili, i cui coefficienti ... numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ... monomio (o espressione monomia) In matematica, espressione algebrica nella quale figurano solo operazioni di moltiplicazione, di divisione e di estrazione di radice: per es., 4a2x3√‾‾‾‾‾‾y/z. Più propriamente, m. è un’espressione nella quale figurano soltanto operazioni di moltiplicazione e divisione, cioè ... coefficiente Matematica In matematica, e nelle sue applicazioni, grandezza, dimensionata o adimensionata, costante o dipendente da qualche variabile, che, operando su una certa quantità A (per es., la misura di una grandezza), consente di ottenere un’altra quantità B (c. di dilatazione termica, c. di assorbimento ...
Indice
  • 1 Anello dei p. in una indeterminata
  • 2 Anello dei p. in più indeterminate
  • 3 P. di Čebyšev
  • 4 P. irriducibili
  • 5 P. ortogonali
  • 6 P. trigonometrico
  • 7 Formula del polinomio
  • 8 Zeri di un polinomio
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
Tag
  • COEFFICIENTE BINOMIALE
  • CONVERGE UNIFORMEMENTE
  • EQUAZIONE ALGEBRICA
  • DIVISORI DELLO ZERO
  • ALGORITMO EUCLIDEO
Altri risultati per polinomio
  • Bernstein, polinomi di
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    Bernštein, polinomi di in analisi, particolari polinomi che approssimano una funzione continua in un intervallo. Più precisamente, data una funzione ƒ(x) definita nell’intervallo [0, 1], i polinomi di Bernštein relativi a tale funzione sono i polinomi dove è il coefficiente binomiale. Il teorema ...
  • riduzione polinomiale
    Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
    Fabrizio Luccio Nello studio della complessità di algoritmi combinatori l’attenzione è focalizzata sulla classificazione dei problemi come polinomiali o esponenziali. L’esame si può limitare alla versione decisionale che è il nucleo di complessità di un problema e si propone di stabilire se il dato ...
  • polinomio
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    polinòmio [Comp. di poli- e -nomio di binomio] [ANM] Somma di più monomi, detti termini del p., i cui coefficienti sono detti coefficienti del p.; grado di un p. rispetto a una variabile è il grado massimo dei monomi rispetto a tale variabile e grado complessivo è il grado massimo dei monomi rispetto ...
  • POLINOMIO
    Enciclopedia Italiana (1935)
    Giovanni Lampariello . Termine in uso nell'algebra per indicare la somma di due o più monomî (v. monomio), che non siano tutti simili tra loro. Se dopo aver fatto la riduzione degli eventuali termini simili, il polinomio comprende due o tre termini, esso si chiama rispettivamente binomio o trinomio. ...
Vocabolario
polinòmio
polinomio polinòmio s. m. [comp. di poli- e -nomio di binomio]. – In matematica, somma di monomî (in senso proprio, solo con riferimento a monomî interi), detti termini del polinomio: binomio, trinomio, quadrinomio, ecc., è un polinomio...
polinomiale
polinomiale agg. [der. di polinomio]. – In matematica, relativo a un polinomio.
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