fibrato, spazio

In matematica, concetto introdotto nel 1935 da H. Whitney in relazione a problemi di topologia e geometria delle varietà. Ha dato luogo a una teoria che ha avuto un enorme sviluppo, specialmente in connessione agli spazi vettoriali (A. Grothendieck, M.F. Atiyah, F. Hirzebruch) e ha condotto alla costruzione di nuovi invarianti topologici. Una funzione continua p: E→B è un f. con spazio totale E, spazio di base B e spazio fibra F se esiste un ricoprimento aperto {U} di B, e per ogni U∈{U} un omeomorfismo ϕ_U:U×F→p⁻¹(U) con poϕ_U(x,y)=x per x∈U e y∈F; per ogni b∈B, p⁻¹(b), che è omeomorfo a F, si definisce la fibra sopra b. Il f. ξ=(E, B, F, p) viene inoltre fornito di un gruppo strutturale G, che agisce su E e su F. Si tratta di una struttura molto ricca e, in particolare, se lo spazio di base B soddisfa a particolari condizioni, la proiezione p del f. è una fibrazione.

Il concetto di f. ha avuto un’ampia diffusione in quasi tutti i settori della matematica e delle sue applicazioni. Così, è da rilevare che ogni moderna teoria di gauge (➔) si basa sullo studio della geometria affine di un f. vettoriale, mentre la struttura globale dei f. permette la formalizzazione del concetto di istantone e della carica topologica; inoltre, lo studio di grandezze gauge-invarianti ha portato alla classificazione degli spazi f. mediante le classi di Chern (classi di coomologia definite su un f. vettoriale complesso n-dimensionale) su un f. complesso.