reciprocità

Matematica

Una r. (o correlazione) è una corrispondenza proiettiva tra i punti di uno spazio proiettivo S e gli iperpiani di uno spazio proiettivo S′ della stessa dimensione r, distinto o coincidente con il primo. Se in S e in S′ si fissano due sistemi di coordinate omogenee di punto (x₀, x₁, …, x_r e x′₀, x′₁, …, x′_r rispettivamente), tale corrispondenza è rappresentata da una sostituzione lineare omogenea

ρ essendo un fattore di proporzionalità diverso da zero, e u′₀, u′₁, …, u′_r, i coefficienti dell’equazione dell’iperpiano che corrisponde al punto (x₀, x₁, …, x_r). Nella r. ora considerata alle rette, ai piani, …, agli iperpiani di S corrispondono rispettivamente, in S′, gli spazi lineari di dimensione r−2, r−1, …, 0 (ossia i punti). R. involutoria È una r. tra due spazi sovrapposti tale che, qualunque sia il punto P, se a esso corrisponde l’iperpiano π′ avviene allora che all’iperpiano π′, pensato come iperpiano π del primo dei due spazi sovrapposti, corrisponde il punto P′ sovrapposto a P. Si tratta, precisamente, di una r. π tale che π^r=i (i=identità). Esistono due tipi di r. involutorie: le polarità, in cui c_hk=c_kh, che sono ottenibili a partire da una quadrica, e i sistemi nulli, in cui c_hk=−c_kh, i quali esistono solo se r è dispari.

I sistemi nulli, detti anche correlazioni nulle o correlazioni focali, trovano applicazioni nella statica e da motivi di carattere statico prendono il nome loro attribuito (1837) da A.F. Möbius. Precisamente, se si considera un sistema di vettori applicati di cui sia R≠0 il risultante, a l’asse centrale, τ≠0 il trinomio invariante, M_T il momento risultante del sistema rispetto a un punto (proprio) T, si stabilisce nello spazio ordinario un sistema nullo facendo corrispondere a ciascun punto proprio T il piano π_T per T ortogonale a M_T: T è il polo di π_T, π_T è il piano polare di T. La corrispondenza risulta pienamente determinata dal suo asse, coincidente con l’asse centrale a del sistema, e dal valore della costante (non nulla) c = τ/R². Si riconosce anche che a ogni punto improprio viene a corrispondere un piano polare (parallelo ad a; coincidente con il piano all’infinito ove si tratti del punto improprio di a). Se il punto T descrive una retta d, il piano corrispondente π_T varia in un fascio, e se d′ è l’asse di questo fascio a ogni punto di d′ corrisponde un piano per d: le due rette d e d′ si dicono mutuamente polari. Una retta per T risulta autopolare soltanto se appartiene a π_T e, reciprocamente, una retta di π_T è autopolare soltanto se passa per T, cioè una retta è autopolare soltanto se è retta di momento nullo per il sistema di vettori che dà origine alla correlazione: donde la qualifica, per questa, di sistema nullo. Un qualsiasi piano ortogonale ad a ha il nome di piano ortografico: proiettando sopra un piano ortografico due rette proprie mutuamente polari (e pertanto ambedue non parallele ad a) si ottengono due rette parallele. È a questa proprietà che è dovuta in definitiva la corrispondenza che si stabilisce tra il cremoniano di un sistema articolato e il diagramma del sistema medesimo. Si dimostra infatti che lo schema (o diagramma) di un sistema articolato triangolare semplice, soggetto a sollecitazione puramente nodale, e il suo cremoniano (o diagramma degli sforzi) si possono considerare ottenuti da due figure spaziali corrispondentisi in un sistema nullo. Precisamente i due diagrammi sono tali che a ogni lato dell’uno corrisponde un lato parallelo dell’altro (e a ogni vertice dell’uno una maglia dell’altro), e si riconosce che ciascun lato dell’uno e il lato corrispondente dell’altro si possono considerare ottenuti per proiezione ortogonale di due rette mutuamente polari in un determinato sistema nullo per il quale il piano del disegno è piano ortografico. Di qui la qualifica di figure reciproche, o diagrammi reciproci, attribuita allo schema della travatura e al suo cremoniano.

I primi studi sui sistemi nulli risalgono a G. Giorgini e a Möbius e, per quanto più in particolare si riferisce alle proprietà delle figure reciproche, a J.C. Maxwell; ma la sistematica utilizzazione di queste nella statica grafica è dovuta a L. Cremona.

Tecnica

I teoremi o principi di r. sono enunciati che stabiliscono particolari corrispondenze tra coppie di grandezze o, più genericamente, tra fenomeni. In elettrotecnica, con riferimento a una rete elettrica passiva e lineare, comunque costituita, il principio di r. può essere enunciato nel seguente modo: se si applica tra una coppia di nodi della rete una tensione e, mettendo in cortocircuito una seconda coppia di nodi, si determina l’intensità della corrente che circola nel collegamento di cortocircuito, il rapporto tra la tensione e l’intensità di corrente non muta quando si scambiano tra di loro le due coppie di nodi. Tale enunciato può essere dimostrato in base ai due principi di Kirchhoff. Nel caso di due induttori mutuamente accoppiati, il teorema di r. porta all’eguaglianza tra i due coefficienti di mutua induzione, mentre nel caso di un generico quadripolo passivo e lineare conduce a una relazione tra i quattro parametri che intervengono nelle due equazioni di funzionamento del quadripolo in questione.