idrostatica

Parte dell’idraulica che studia i problemi di equilibrio dei liquidi e in particolare dell’acqua.

Il parametro della pressione

In condizioni di quiete, la distribuzione degli sforzi specifici nell’intorno del generico punto di una massa liquida resta completamente individuata da un solo parametro: la pressione, normale all’elemento di superficie che si considera, variabile in generale da punto a punto, ma nell’intorno di un punto indipendente dall’orientamento dell’elemento. Fondamentale per la trattazione matematica dei problemi inerenti all’equilibrio dei liquidi è l’equazione vettoriale indefinita dell’idrodinamica (➔) che, stante l’identico annullarsi della velocità e quindi dell’accelerazione di ogni particella, si riduce a

[1]

essendo ρ la densità, F la forza agente sull’unità di massa, gradp il gradiente della pressione, cioè il vettore che ha per componenti ∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z, ove x, y, z sono le coordinate, rispetto a un prefissato riferimento cartesiano, della posizione occupata dalla particella generica. Risulta dalla [1] che soltanto in assenza di forze si può avere gradp=0, cioè soltanto in questo caso la pressione può avere ovunque lo stesso valore; in ogni altro caso essa deve in qualche modo dipendere dalle coordinate del punto, avendo però in ogni caso uno stesso valore su ciascuna delle ∞¹ superfici isobariche, p(x, y, z)=costante, che si possono considerare nella regione occupata dal liquido. La [1] mostra pure che per un liquido incompressibile (ρ non dipende dalla pressione) lo stato di equilibrio è possibile solo se la forza di massa deriva da un potenziale U; in tal caso la [1] medesima può scriversi

[2]

con la conseguenza che le superfici equipotenziali,

U(x, y, z) = costante

(delle quali ha un senso preciso parlare ogni volta che la forza sia conservativa), coincidono, nel loro insieme, con le superfici isobariche. In particolare risultano isobariche, e insieme equipotenziali, le eventuali superfici di separazione di due fluidi di diversa densità, in equilibrio sotto l’azione di uno stesso campo conservativo: per es., se questo è il campo della gravità, le superfici di separazione sono piani orizzontali. Il caso che le forze di massa si riducano al peso è fra i più frequenti e di maggiore interesse. In tale caso la pressione nell’interno di una massa liquida in quiete varia soltanto con la quota, e la corrispondente legge di variazione si ottiene subito dalla [2] ricordando che, assunta come asse z la verticale discendente, il potenziale unitario di gravità vale gz. Difatti, integrando allora la [2] fra un punto P₀ e un punto P lungo un cammino qualsiasi, si ricava

[3]

per es., per liquidi omogenei (ρ non dipende dalla posizione) si ha da [3]

[

]

La [3′] dà ragione del fatto che la pressione sul fondo, cioè la pressione esercitata da un liquido in quiete sul fondo del recipiente che lo contiene, dipende esclusivamente dall’altezza del liquido in esso contenuto e non, per es., dalla forma del recipiente medesimo. La stessa [3′]

permette poi di ricavare quel risultato che va sotto il nome di principio dei vasi comunicanti, secondo il quale le superfici libere di un liquido omogeneo contenute in due (o più) vasi comunicanti appartengono a un medesimo piano orizzontale. Tornando alla [1] si può aggiungere che essa permette altresì di riconoscere che in un fluido in quiete, soggetto a campo conservativo, la densità dipende solo dalla pressione; viceversa, non solo per i liquidi incompressibili (ρ non dipende dalla pressione), ma anche se la densità dipende soltanto dalla pressione (come si verifica per i gas perfetti in condizioni adiabatiche o isotermiche) si trova come conseguenza che per l’equilibrio la forza F deve essere conservativa. Ciò permette di scrivere la [1] nella forma

[4]

essendo U il potenziale della F e [4b]

Pertanto se si può ammettere a priori l’una o l’altra delle due circostanze seguenti: o che le forze di massa siano conservative, oppure che la densità sia funzione soltanto della pressione, l’equazione vettoriale e differenziale [1] può essere sostituita dall’unica relazione scalare e in termini finiti

[5]

relazione che viene spesso indicata come equazione locale dell’i. Per i liquidi omogenei è P=p/ρ; se il liquido è soggetto alla gravità e si assume come asse z la verticale ascendente si ha U=−gz: di conseguenza la [5] si traduce nella

[6]

Il secondo termine di questa eguaglianza dà la quota effettiva del punto P che si considera, su un piano orizzontale di riferimento; p/(ρg) è la cosiddetta quota piezometrica, altezza sopra il punto P di una colonna liquida capace di produrre col suo peso la pressione p: talvolta si dà il nome di quota piezometrica all’intero binomio (p/ρg)+z. La [6] esprime che è costante in ogni punto della massa liquida la somma della quota effettiva e della quota piezometrica, risultato evidentemente coincidente con quello espresso dalla [3] e caso particolare del teorema di Bernoulli.

L’equilibrio dei corpi immersi in un liquido

Una classe di importanti problemi è quella che riguarda l’equilibrio dei corpi immersi in un liquido e quindi in particolare i problemi del galleggiamento. Si ricorda, a proposito, il principio di Archimede, secondo il quale un corpo parzialmente o totalmente immerso in un fluido in quiete è soggetto a un insieme di sforzi di pressione equivalenti a un’unica forza, la spinta i., eguale e opposta al peso del fluido spostato. Tale principio si può generalizzare al caso di una generica forza di massa: gli sforzi di pressione esercitati da un fluido contro la superficie di un corpo totalmente o parzialmente immerso in esso costituiscono in ogni caso un sistema di vettori applicati equivalente al sistema, cambiato di verso, delle forze di massa che agirebbero sul volume di fluido spostato dal corpo. Il punto di applicazione della spinta i. si trova, quindi, nel centro di massa della porzione di liquido che si trovasse a occupare lo spazio in realtà occupato dalla parte immersa del corpo.