frazione

Ciascuna delle parti in cui è diviso un tutto; o parte staccata di un tutto.

Diritto

F. di Comune

Parte di territorio comunale comprendente di norma un centro abitato, nonché nuclei abitati e case sparse gravitanti sul centro. Dotata di modesta autonomia, la f. è una entità territoriale minore individuata in base alle condizioni antropogeografiche e giuridicamente riconosciuta con atto del comune.

Matematica

Rapporto fra due grandezze, A e B, omogenee e commensurabili. Dire che A è m ennesimi di B [A=(m/n)B] significa, in concreto, che A è uguale a m volte la ennesima parte di B. Appunto perché esprimono rapporti (latino: ratio) le f. vengono anche chiamate numeri razionali. I due numeri interi m e n si dicono termini della f.: precisamente n è il denominatore, cioè il termine che ‘dà il nome’ alla f. (m mezzi, m terzi, m quarti ecc., a seconda che sia n=2, 3, 4, ...); m è il numeratore, cioè il termine che indica quanti ennesimi (quanti mezzi, terzi ecc.) devono essere presi in considerazione. Una f. si dice propria, se il numeratore è minore del denominatore, impropria nel caso contrario. Se il numeratore poi è multiplo del denominatore, o eguale a esso, la f. si riduce a un numero intero e si dice apparente. Se m è il numeratore, n il denominatore, la f. si indica indifferentemente con l’uno o l’altro dei simboli:

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Operazioni sulle frazioni

Riduzione ai minimi termini

Una f. si dice ridotta ai minimi termini se è scritta nella forma p/q con p, q numeri interi primi tra loro (privi di divisori comuni). È sempre possibile, e in un sol modo, ridurre a tale forma una qualsiasi f. a termini positivi. Si constata infatti che si possono moltiplicare o dividere i due termini di una f. per uno stesso numero k≠0 senza che la f. si alteri: (m∙k)/(n∙k)=(m/k)/(n/k)=m/n. Se k è il massimo comun divisore di m e n, e se m/k=p, n/k=q, p e q sono primi tra loro e m/n=p/q.

Riduzione di due o più f. al minimo comune denominatore

Date le f.: f₁=m₁/n₁, f₂=m₂/n₂, ..., f_r=m_r/n_r; sia n il minimo comune multiplo dei denominatori n₁, ... n_r; sia n/n_i=d_i; si avrà allora: f₁=m₁/n₁=(d₁m₁)/(d₁n₁)=(d₁m₁)/n; f₂=(d₂m₂) /n, ..., f_r=(d_rm_r)/n.

Addizione e sottrazione di due frazioni:

(m₁/n₁)±(m₂/n₂)= (n₂m₁±n₁m₂)/(n₁∙n₂) .

Moltiplicazione di due frazioni:

(m₁/n₁)‧(m₂/n₂)=(m₁∙m₂) /(n₁∙n₂).

Divisione di due frazioni:

(m₁/n₁):(m₂/n₂)=(m₁∙n₂)/(n₁∙m₂)=(m₁/n₁)∙(n₂/m₂), così che dividere una f. per un’altra f. equivale a moltiplicare la prima per l’inversa della seconda.

Queste regole di calcolo sulle f. possono servire, viceversa, a una definizione formale delle f. come opportune classi di coppie ordinate di interi (o, più in generale, di elementi di un dominio di integrità) tra loro equivalenti (le coppie m₁/n₁ e m₂/n₂, con n₁n₂≠0, sono equivalenti e pertanto appartengono alla stessa classe se e soltanto se m₁n₂=m₂n₁: ➔ equivalenza). È anzi in questo modo che si perviene a una definizione aritmetica rigorosa delle f. (o dei numeri razionali) a partire dai numeri interi.

F. continua

Si tratta di un’espressione del tipo:

[2]

Il termine a₀ rappresenta la parte intera della f. continua e la quantità b_h/a_h si dice h-esimo termine della frazione. La f. continua è detta limitata, se ha un numero finito di termini, e infinita in caso contrario. Oltre alla precedente, si usa anche la seguente scrittura:

[3]

Si dice ridotta n-esima di una f. continua la f. continua limitata che si ottiene fermandosi al termine n-esimo; cioè la f. continua:

[4]

Una f. continua infinita si dice convergente se la successione delle sue ridotte tende a un limite determinato e finito per n tendente all’infinito. Tale limite si assume come valore della f., che cessa così dall’essere un puro simbolo; le f. continue sono insomma algoritmi infiniti del tipo delle serie e dei prodotti infiniti. Si può scrivere ogni serie convergente sotto forma di f. continua, in modo che non solo coincidano la somma della serie e il valore della f., ma coincida addirittura ogni somma parziale con la corrispondente ridotta n-ma. Questo risultato permette di usare l’algoritmo della f. continua per lo studio dei numeri irrazionali. Mentre un numero razionale (cioè il rapporto tra due numeri interi) può essere scritto sotto forma di f. continua limitata, un numero irrazionale porterà a una f. continua illimitata.

Per la f. generatrice di un numero decimale periodico ➔ periodico.