wavelet

In matematica, particolare tipo di funzione usata principalmente per l'analisi dei segnali. Intuitivamente una w. è una funzione g(x) ben localizzata, che abbia trasformata di Fourier ĝ(p), anch'essa ben localizzata e che soddisfi alla cosiddetta condizione di ammissibilità: Cg=∫∣ĝ(p)∣∙∣p∣−¹dp⟨∞ (tale condizione implica, in partic., ĝ(0)=0, dunque ∫g(x)dx=0, per funzioni g differenziabili). Esempi semplici di w. sono la funzione g(x)=(1−x²)exp(−x²/2), detta anche cappello messicano (o sombrero) e la w. di Morlet: f(x)=π−¹/⁴ [exp(−iαx)−exp(− α²/2)]∙ exp (− x²/2). Il procedimento che si usa per analizzare i segnali è concettualmente simile a quello utilizzato nell'analisi armonica.

Gli studi

Il concetto di w. (ondina) fu introdotto per la prima volta dal geofisico francese J. Morlet attorno al 1975. Insieme al fisico francese A. Grossmann, Morlet mise a punto, agli inizi degli anni Ottanta, la trasformata wavelet continua. Successivamente, con i lavori di Y. Meyer e S. Mallat, fu introdotto il concetto di analisi multirisoluzione con le prime basi di w. e vennero poste le basi matematiche dell'analisi tramite wavelet. I. Daubechies introdusse poi le basi di wavelets ortogonali a supporto compatto e quindi, in collaborazione con il matematico francese A. Cohen, il concetto di basi di wavelets biortogonali.

Le applicazioni

Le applicazioni pratiche delle w. sono molte. Le proprietà delle w. permettono di poter studiare l'appartenenza o meno di una funzione data a numerosi spazi di funzione e possono essere utilizzate per studiare la dimensione frattale di una curva. Nella compressione dei segnali e delle immagini, la trasformata w. rapida applicata alla successione dei valori campionati del segnale in ingresso ha la proprietà di separare le diverse bande di frequenza, al pari della trasformata di Fourier, ma, diversamente da quest'ultima, in maniera locale, dimostrando quindi una maggior efficienza. Questa proprietà trova anche applicazione nel campo della rimozione del rumore (denoising). Un'altra importante applicazione è quella dell'analisi dei segnali: lo studio della trasformata w. (sia in forma continua sia discreta) di un segnale ne rivela caratteristiche che lo studio diretto del segnale stesso non evidenzia. Anche in questo caso, cioè, quello che la trasformata di Fourier ottiene viene migliorato sfruttando le proprietà di localizzazione nello spazio della trasformata wavelet. Applicazioni si trovano, per es., nello studio dei segnali sismici, dei segnali medici (elettrocardiogrammi, elettroencefalogrammi, TAC), dei segnali audio (dove si preferisce l'uso dei cosiddetti pacchetti di w.), e delle immagini (per problemi come il riconoscimento di forme o il riconoscimento dei bordi). Altre applicazioni si hanno nello studio della turbolenza, nella meteorologia, nella paleoclimatologia, oltre che nello studio dei metodi per la risoluzione approssimata di equazioni alle derivate parziali.