teorema di compattezza
teorema di compattezza
Nella logica matematica, è tale un qualsiasi teorema che stabilisce che – fissato un linguaggio formale L – una teoria T ha come conseguenza logica la formula A, cioè T⊩A, se e solo se esiste una parte T′di T per cui T′⊩A. Equivalentemente, una teoria T ha un modello se ne ha uno ogni sua parte finita. Il teorema vale per i linguaggi elementari di qualunque cardinalità dei linguaggi elementari ma non vale in generale nelle forme sopra mensionate per linguaggi più espressivi come quelli del secondo ordine, i linguaggi infinitari Lk,l con congiunzioni e disgiunzioni infinite ecc. Valgono invece forme modificate come, per es., il teorema di compattezza di Barwise (1968) per frammenti di linguaggi con congiunzioni numerabili dove si generalizzi il concetto di finito a quello di elemento di un insieme ammissibile. Come provato da Jerome Keisler e Alfred Tarski, la validità della compattezza per linguaggi infinitari è legata all’esistenza di ultrafiltri con particolari proprietà di completezza. Di qui la possibilità di usare questi linguaggi per classificare i grandi cardinali e viceversa. Va notato infine che lo studio della validità o meno di forme del teorema di compattezza si estende a linguaggi e logiche non classiche.