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teorema del limite centrale

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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teorema del limite centrale

Luca Tomassini

Nome collettivo per una serie di teoremi limite in teoria della probabilità che stabiliscono condizioni sotto le quali somme o altre funzioni di un grande numero di variabili casuali indipendenti hanno distribuzione di probabilità vicina alla distribuzione normale o gaussiana. La versione classica del teorema del limite centrale tratta il caso della somma Sn=X1+...+Xn di una successione X1,...,Xn,... di variabili casuali indipendenti, ciascuna con valore atteso EXk=ak e varianze DXk=[E(Xk-EXk)2]1/2=bk finite. Definiamo ora An=ESn=a1+...+an e Bn=DSn=b1+...+bn (questa seconda uguaglianza è valida in quanto le variabili Xk sono assunte indipendenti) e consideriamo le variabili

formula

Esse sono dette somme normalizzate, in quanto hanno valore atteso nullo e varianza pari a 1. Indicando con Fn(x)=P{Zn〈x} le rispettive distribuzioni di probabilità, il teorema del limite centrale afferma che, per ogni x∈ℝ,

formula

dove

formula

è appunto la funzione di distribuzione normale standard corrispondente alla densità normale con valore atteso nullo e varianza unitaria. Le condizioni precedenti possono essere sensibilmente indebolite, ma il loro significato è sempre di imporre che le variabili casuali considerate (o loro opportune funzioni) siano trascurabili rispetto alla loro somma. Tale circostanza è chiarita considerando uno schema triangolare di variabili casuali

formula

con Xn,k=(Xk−ak)/√Bn e 1≤k≤n. Le variabili casuali in ciascuna riga sono allora indipendenti e Zn=Xn,1+...+Xn,n. Le usuali condizioni per la valità del teorema del limite centrale implicano che Xn,k è asintoticamente trascurabile al crescere di n. Viceversa, dato uno schema triangolare e supponendo che le somme Zn abbiano una densità limite di probabilità per n che tende a infinito (ma esistono condizioni necessarie e sufficienti perché questo avvenga) è possibile dimostrare che essa è normale se e solo se per ogni ε>0

formula

ovvero se il termine massimo in Zn diventa trascurabile rispetto alla somma stessa.

→ Leggi di scala

Vedi anche
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Categorie
  • STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA in Matematica
Tag
  • DISTRIBUZIONE NORMALE
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  • VARIANZA
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