rappresentazione galoisiana
rappresentazione galoisiana
Sia ℚ il campo dei numeri razionali e si indichi con ℚ_ la chiusura algebrica di ℚ. Il campo ℚ_ è il sottocampo del campo dei numeri complessi contenente tutti i numeri algebrici, cioè quei numeri complessi che soddisfano un’equazione algebrica p(x)=0, dove p(x) è un polinomio xn+an−1xn−1+...+a0 di grado n≥1 a coefficienti in ℚ. In modo equivalente, si può definire ℚ_ come l’unione di tutti i campi di numeri. Il gruppo di Galois Gℚ=Gal(ℚ_ /ℚ) dell’estensione ℚ_ di ℚ, detto gruppo di Galois assoluto di ℚ, è il gruppo degli automorfismi del campo ℚ_ (dove il prodotto di automorfismi è la composizione di applicazioni). Il gruppo Gℚ è infinito e non commutativo. Al fine di studiarne la struttura, si introduce il concetto di rappresentazione galoisiana di dimensione d, definita come un omomorfismo di gruppi ϱ:Gℚ→GLd(K), dove K è un campo e GLd(K) è il gruppo delle matrici d×d a coefficienti in K aventi determinante diverso da zero. Nei casi in cui la definizione ha senso, si richiede che l’omomorfismo ϱ sia un’applicazione continua. Per esempio, se K è il campo ℂ dei numeri complessi, la condizione di continuità equivale a richiedere che l’immagine dell’omomorfismo ϱ sia un sottogruppo finito di GLd(ℂ); una simile rappresentazione galoisiana è detta rappresentazione di Artin. Si fissi una rappresentazione galoisiana ϱ di dimensione d, e sia F un sottocampo di ℚ_, unione di campi di numeri di Galois, tale che valga la relazione ϱ(g)=ϱF (gF) per ogni g in Gℚ, dove ϱF: Gal(F/ℚ)→GLd(K) è un omomorfismo e gF indica la restrizione dell’automorfismo g di ℚ_ al sottocampo F. (Se ϱ è una rappresentazione di Artin, si può scegliere come F un campo di numeri). Se S è un insieme di numeri primi, si dice che ϱ è non ramificata fuori di S se per ogni primo ℓ non appartenente a S è definito l’elemento di Frobenius Frobℓ. Ciò significa che vi è un ideale massimale ℒ nell’anello degli interi algebrici OF di F la cui intersezione con l’anello degli interi relativi ℤ è uguale a ℓℤ, e un elemento Frobℓ in Gal(F/ℚ) per cui Frobℓ(x)−xℓ appartiene a ℒ per ogni scelta di x in OF. Le rappresentazioni galoisiane per le quali si può scegliere un insieme S finito rivestono particolare interesse (le rappresentazioni di Artin godono di questa proprietà). In questo caso, si dimostra che gli elementi di Frobenius Frobℓ, al variare di ℓ tra i primi non appartenenti a S, generano (in senso opportuno) il gruppo Gal(F/ℚ). La costruzione di rappresentazioni galoisiane (con S finito) rappresenta un problema fondamentale nello studio di Gℚ. Un metodo generale consiste nello studio dell’azione di Gℚ sulla coomologia ℓ-adica di una varietà algebrica definita su ℚ. Come esempio, consideriamo il caso di una curva ellittica E, definita da un’equazione cubica y2=x3+ax+b, avente coefficienti a e b in ∟ tali che 4a3+27b2≠0. L’insieme delle soluzioni in ℚ_ di quest’equazione, insieme al punto all’infinito O, è dotato della struttura di gruppo commutativo (dove la somma di punti è definita con il metodo della corda e della tangente). Dato un primo ℓ, indichiamo con E[ℓ] il sottogruppo di E(ℚ_) costituito dai punti P tali che ℓP=O. Si ha che E[ℓ] è uno spazio vettoriale di dimensione 2 sul campo finito con ℓ elementi Fℓ (il campo Fℓ è l’anello ℤ/ℓℤ delle classi di resto modulo ℓ). Applicando gli automorfismi di Gℚ alle coordinate dei punti di E[ℓ] si ottengono automorfismi di E[ℓ]. Ne risulta (fissata una base per E[ℓ]) una rappresentazione galoisiana ϱE,ℓ:Gℚ→GL2(Fℓ) di dimensione 2. La costruzione di questa rappresentazione, opportunamente generalizzata, svolge un ruolo fondamentale nello studio dell’aritmetica delle curve ellittiche e nella dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat.