• Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X

rappresentazione galoisiana

di Massimo Bertolini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
  • Condividi

rappresentazione galoisiana

Massimo Bertolini

Sia ℚ il campo dei numeri razionali e si indichi con ℚ_ la chiusura algebrica di ℚ. Il campo ℚ_ è il sottocampo del campo dei numeri complessi contenente tutti i numeri algebrici, cioè quei numeri complessi che soddisfano un’equazione algebrica p(x)=0, dove p(x) è un polinomio xn+an−1xn−1+...+a0 di grado n≥1 a coefficienti in ℚ. In modo equivalente, si può definire ℚ_ come l’unione di tutti i campi di numeri. Il gruppo di Galois Gℚ=Gal(ℚ_ /ℚ) dell’estensione ℚ_ di ℚ, detto gruppo di Galois assoluto di ℚ, è il gruppo degli automorfismi del campo ℚ_ (dove il prodotto di automorfismi è la composizione di applicazioni). Il gruppo Gℚ è infinito e non commutativo. Al fine di studiarne la struttura, si introduce il concetto di rappresentazione galoisiana di dimensione d, definita come un omomorfismo di gruppi ϱ:Gℚ→GLd(K), dove K è un campo e GLd(K) è il gruppo delle matrici d×d a coefficienti in K aventi determinante diverso da zero. Nei casi in cui la definizione ha senso, si richiede che l’omomorfismo ϱ sia un’applicazione continua. Per esempio, se K è il campo ℂ dei numeri complessi, la condizione di continuità equivale a richiedere che l’immagine dell’omomorfismo ϱ sia un sottogruppo finito di GLd(ℂ); una simile rappresentazione galoisiana è detta rappresen­tazione di Artin. Si fissi una rappresentazione galoisiana ϱ di dimensione d, e sia F un sottocampo di ℚ_, unione di campi di numeri di Galois, tale che valga la relazione ϱ(g)=ϱF (gF) per ogni g in Gℚ, dove ϱF: Gal(F/ℚ)→GLd(K) è un omomorfismo e gF indica la restrizione dell’automorfismo g di ℚ_ al sottocampo F. (Se ϱ è una rappresentazione di Artin, si può scegliere come F un campo di numeri). Se S è un insieme di numeri primi, si dice che ϱ è non ramificata fuori di S se per ogni primo ℓ non appartenente a S è definito l’elemento di Fro­benius Frobℓ. Ciò significa che vi è un ideale massimale ℒ nell’anello degli interi algebrici OF di F la cui intersezione con l’anello degli interi relativi ℤ è uguale a ℓℤ, e un elemento Frobℓ in Gal(F/ℚ) per cui Frobℓ(x)−xℓ appartiene a ℒ per ogni scelta di x in OF. Le rappresentazioni galoisiane per le quali si può scegliere un insieme S finito rivestono particolare interesse (le rappresentazioni di Artin godono di questa proprietà). In questo caso, si dimostra che gli elementi di Frobenius Frobℓ, al variare di ℓ tra i primi non appartenenti a S, generano (in senso opportuno) il gruppo Gal(F/ℚ). La costruzione di rappresentazioni galoisiane (con S finito) rappresenta un problema fondamentale nello studio di Gℚ. Un metodo generale consiste nello studio dell’azione di Gℚ sulla coomologia ℓ-adica di una varietà algebrica definita su ℚ. Come esempio, consideriamo il caso di una curva ellittica E, definita da un’equazione cubica y2=x3+ax+b, avente coefficienti a e b in ∟ tali che 4a3+27b2≠0. L’insieme delle soluzioni in ℚ_ di quest’equazione, insieme al punto all’infinito O, è dotato della struttura di gruppo commutativo (dove la somma di punti è definita con il metodo della corda e della tangente). Dato un primo ℓ, indichiamo con E[ℓ] il sottogruppo di E(ℚ_) costituito dai punti P tali che ℓP=O. Si ha che E[ℓ] è uno spazio vettoriale di dimensione 2 sul campo finito con ℓ elementi Fℓ (il campo Fℓ è l’anello ℤ/ℓℤ delle classi di resto modulo ℓ). Applicando gli automorfismi di Gℚ alle coordinate dei punti di E[ℓ] si ottengono automorfismi di E[ℓ]. Ne risulta (fissata una base per E[ℓ]) una rappresentazione galoisiana ϱE,ℓ:Gℚ→GL2(Fℓ) di dimensione 2. La costruzione di questa rappresentazione, opportunamente generalizzata, svolge un ruolo fondamentale nello studio dell’aritmetica delle curve ellittiche e nella dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat.

→ Fermat, ultimo teorema di

Vedi anche
sottogruppo In matematica, insieme H di elementi di un gruppo G, tale che, mediante l’operazione di composizione definita in G, costituisce a sua volta un gruppo. In altre parole, H è sottogruppo di G se il ‘prodotto’ di due elementi qualunque di H, eseguito con la regola valida in G, è un elemento di H e se, insieme ... automorfismo In algebra, isomorfismo di un insieme dotato di una struttura algebrica (gruppo, corpo ecc.) in sé stesso.  ● In particolare si definisce automorfismo interno (di un gruppo G) l’automorfismo che si ottiene facendo corrispondere al generico elemento x l’elemento y·x·y−1 (tenendo fisso y e facendo variare ... numeri complessi Si chiama complessi, numeri ogni numero della forma a + i b, essendo a e b due numeri reali relativi (positivi, negativi o anche nulli) e rappresentando il simbolo i (unità immaginaria o immaginario) la radice quadrata di −1; l’addendo a si chiama la parte reale, l’addendo i b la parte immaginaria, b ... polinomio In matematica, somma di monomi (in senso proprio, solo con riferimento a monomi interi), detti termini del polinomio: binomio, trinomio, quadrinomio ecc., è un polinomio rispettivamente di 2, 3, 4 ecc. termini; coefficienti di un polinomio sono i coefficienti dei suoi monomi; grado di un polinomio rispetto ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
Vocabolario
rappreṡentazióne
rappresentazione rappreṡentazióne s. f. [dal lat. repraesentatio -onis, der. di repraesentare «rappresentare»]. – 1. L’attività e l’operazione di rappresentare con figure, segni e simboli sensibili, o con processi varî, anche non materiali,...
rappreṡentativo
rappresentativo rappreṡentativo agg. [der. di rappresentare]. – 1. Che rappresenta con figure, segni e simboli, procedimenti varî: la funzione r. della scrittura, dell’arte, e capacità r., stile r. di uno scrittore, di un pittore; fatti,...
  • Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X
  • Ricerca
    • Enciclopedia
    • Vocabolario
    • Sinonimi
    • Biografico
    • Indice Alfabetico

Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.A. © Tutti i diritti riservati

Partita Iva 00892411000

  • facebook
  • twitter
  • youtube
  • instagram
  • Contatti
  • Redazione
  • Termini e Condizioni generali
  • Condizioni di utilizzo dei Servizi
  • Informazioni sui Cookie
  • Trattamento dei dati personali