modello

modello

modello termine utilizzato in matematica con due significati opposti: da una parte, diversamente connotato (per esempio, modello algebrico, modello geometrico ecc.), indica uno schema teorico, più o meno formalizzato, relativo a un fenomeno osservato (di cui riproduce il comportamento in base ad alcune assunzioni e ipotesi) o a un problema (modello matematico di un problema); dall’altra, indica una particolare struttura che “si comporta” conformemente a una data teoria (modello di una teoria).

Modello matematico

Insieme di relazioni formali (eventualmente una sola equazione) che descrivono in modo semplificato un certo gruppo di fenomeni oppure le relazioni di un problema. Se le relazioni sono di tipo algebrico o analitico (equazioni, disequazioni ecc.) si parla di modello algebrico; se invece se ne dà una interpretazione geometrica (in senso lato) si parla di modello geometrico. Per esempio, la funzione y = 2ⁿ può rappresentare il modello algebrico che descrive l’andamento di una popolazione che raddoppia di numero a intervalli costanti di tempo; un albero binario sarebbe invece un modello geometrico dello stesso fenomeno. O ancora: un’ellisse costituisce un modello geometrico di un’orbita planetaria, la sua equazione ne costituisce un modello algebrico; una retta costituisce un modello geometrico della relazione tra i costi e i consumi di un bene venduto a un costo unitario costante. La costruzione di un modello consiste in una serie di decisioni riguardo a ciò che viene ritenuto essenziale per la descrizione del fenomeno o del problema in esame in relazione agli obiettivi che ci si pongono. Per esempio, se lasciando cadere un dado a terra da una certa altezza si vuole stabilire dopo quanto tempo toccherà il suolo, si considereranno le variabili h (altezza da terra) e t (tempo di caduta) e il parametro g (accelerazione di gravità): il modello algebrico sarà allora fornito dalla legge di caduta dei gravi h = 1/2gt ².Tale modello è un modello deterministico perché conoscendo i dati iniziali (o, più in generale, lo stato iniziale) il risultato è determinato e non è sottoposto a incertezza. Se invece dello stesso dado si vuole sapere con quale faccia cadrà, interessa la variabile aleatoria definita dai sei numeri sulle facce del dado e dalle loro probabilità: in questo caso ci si avvale di un modello non deterministico, cioè un modello tale che la conoscenza dello stato iniziale non permette di stabilire con certezza l’esito finale. Tra i modelli non deterministici assumono particolare rilevanza i modelli probabilistici, nei quali cioè si possono effettuare valutazioni di probabilità. A volte è poi importante stabilire se l’effetto di una variabile su un’altra è immediato (modello statico) oppure è distribuito nel tempo (modello dinamico). In ambedue i casi, il modello può essere lineare o non lineare. Naturalmente, i procedimenti di validazione di un modello sono strettamente legati alla sua struttura e pertanto alle decisioni prese durante la sua costruzione. Sia nel caso di modelli deterministici sia soprattutto in quello di modelli non deterministici utilizzati per fare delle previsioni, ci si avvale anche di tecniche di simulazione assistite da computer. Questi ultimi hanno permesso di studiare l’evoluzione di modelli di grandi dimensioni e molto complessi (per esempio non lineari e dinamici contemporaneamente) che coinvolgono un numero rilevante di variabili e di dati.

Modello di una teoria

Particolare struttura o configurazione che realizza gli assiomi di una teoria. Per esempio, il gruppo additivo degli interi, Z(+), è un modello della teoria dei gruppi o, ancora, il modello di → Beltrami, il modello di → Klein e il modello di → Riemann sono tre modelli di geometria non euclidea. Un modello di interpretazione per una data teoria matematica è, quindi, un insieme di oggetti che soddisfano le proprietà della teoria in questione. Una teoria può avere più di un modello, come per esempio la teoria dei gruppi che ha modelli numerici (l’insieme dei numeri interi Z dotato dell’operazione di addizione algebrica è un gruppo) e geometrici (l’insieme delle isometrie di un triangolo equilatero in sé stesso con l’operazione di composizione è un gruppo). La capacità di astrazione e l’utilità di una teoria si possono valutare in relazione ai suoi diversi modelli e campi di applicazione.

Più precisamente, in logica matematica, con il termine modello si intende un dominio di interpretazione di una teoria formalizzata. Un dominio di interpretazione è un insieme non vuoto D tale che i simboli del linguaggio formale utilizzato possano essere interpretati come elementi di D. In particolare:

• a ogni lettera predicativa A_jⁿ corrisponde una relazione a n posti nell’insieme D (cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano Dⁿ);

• a ogni lettera funzionale ƒ_jⁿ corrisponde un’operazione a n posti in D (cioè una funzione ƒ: Dⁿ → D);

• a ciascuna costante individuale a_i corrisponde un elemento di D.

Inoltre le variabili del linguaggio assumono valori nell’insieme D (→ predicati, linguaggio dei). Per esempio l’insieme dei numeri naturali N costituisce un modello di interpretazione della teoria dell’aritmetica formalizzata dagli assiomi di → Peano nel linguaggio dei predicati.

Il teorema di esistenza del modello afferma che se una teoria è coerente, cioè non contiene contraddizioni, allora ha almeno un modello di interpretazione. In termini più specifici ciò significa che, dato un insieme F di formule ben formate chiuse tale che da F non si possano dedurre contraddizioni, esiste un dominio di interpretazione D che soddisfa F, cioè in cui siano valide tutte le formule dedotte logicamente dalle formule di F.

Con il termine modello standard di una teoria ci si riferisce al modello naturale, cioè all’oggetto a partire dal quale è costruita la teoria; se tutti i modelli di una data teoria sono isomorfi al modello standard, la teoria è detta teoria categorica. È tale per esempio l’aritmetica formalizzata con gli assiomi di Peano. La teoria dei gruppi è invece una teoria non categorica perché ci sono più modelli di gruppo tra loro non isomorfi (→ categoricità).

Un modello matematico: prede e predatori