forme modulari

forme modulari

Si indichi con SL₂(ℤ) il gruppo delle matrici 2×2 a coeffcienti nell’anello ℤ degli interi relativi aventi determinante 1, e con Γ₀(N) il sottogruppo contenente le matrici che sono triangolari superiori modulo un intero positivo N. Gli elementi di SL₂(ℤ) sono le matrici

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con a,b,c,d in ℤ e ad−bc=1; il prodotto di matrici è definito righe per colonne. Una matrice del tipo precedente appartiene a Γ₀(N) se N divide c. Si fissi un gruppo Γ=Γ₀(N) per un certo N. Una forma modulare di peso intero (pari) k≥2 rispetto a Γ è una funzione f:ℋ→ℂ a valori nel campo complesso ℂ, dove ℋ è il semipiano superiore dei numeri complessi aventi parte immaginaria positiva, soddisfacente le condizioni seguenti: (a) f è olomorfa su ℋ (cioè ammette la derivata in senso complesso in ogni punto di ℋ); (b) f soddisfa l’equazione funzionale f(γ_∣)=(c_∣+d)^〈f(z) per ogni scelta di z in ℋ e di γ in Γ, dove γ_∣ indica l’elemento (az+b)≠(cz+d) se γ è una matrice con componenti a,b,c,d come sopra; (c) f è olomorfa sull’insieme delle cuspidi. Chiariamo la condizione (c) nel caso particolare in cui N=1 e dunque il gruppo Γ coincide con SL₂(ℤ). In questo caso, si richiede che sia possibile sviluppare f(z) in serie di Fourier come

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In conclusione, si può dire informalmente che una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore e all’infinito, simmetrica rispetto a Γ. Continuando a supporre N=1, si consideri l’esempio delle serie di Eisenstein, definite dalla formula G_〈(z)=∑1/(az+b)^〈, dove k è un intero pari maggiore o uguale a 4 e la somma infinita è effettuata sulle coppie di interi relativi (a,b) non entrambi nulli. Si verifica che G_〈(z) è una forma modulare di peso k, avente primo coefficiente di Fourier a₀=2ζ(k), dove

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è la funzione zeta di Riemann. Utilizzando espressioni polinomiali nelle serie di Eisenstein di peso 4 e 6 si descrivono tutte le forme modulari rispetto al gruppo SL₂(ℤ). Inoltre, queste due serie di Eisenstein svolgono un ruolo cruciale nello studio delle curve ellittiche (curve cubiche piane non singolari) a coefficienti complessi. Come ultimo esempio, si definisca

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Si ha che Δ(z) è una forma modulare di peso 12, avente coefficiente di Fourier a₀ uguale a zero. Tornando a un Γ generale, si consideri ora lo spazio (vettoriale complesso) S_〈(Γ) delle forme modulari di peso k rispetto a Γ, aventi primo coefficiente di Fourier a₀ uguale a zero. Vi è una famiglia di operatori T_{[, per n≥1 intero, detti operatori di Hecke, che agiscono come endomorfismi su S_〈(Γ). Per es., se p è primo e non divide N, allora

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dove la prima somma è svolta sugli indici interi positivi n divisibili per p mentre la seconda su tutti gli indici interi positivi. Si supponga che T_{[f=a_{[f per ogni n≥1, dove a₁=1 e a_{[ indica l’n-esimo coefficiente di Fourier di f. Una simile forma modulare, detta autofunzione, riveste un particolare interesse aritmetico. Infatti, grazie al lavoro di Goro Shimura e Pierre Deligne, è possibile associare a una autofunzione f una rappresentazione galoisiana ϱ_[∼∏:G_ℚ→GL₂( _ℚ_∏), dove G_ℚ è il gruppo di Galois Gal (_ℚ/ℚ) della chiusura algebrica _ℚ del campo razionale ℚ, _ℚ_∏ è la chiusura algebrica del campo ℚ_∏ dei numeri p-adici, GL₂(_ℚ_∏) è il gruppo delle matrici 2×2 a coefficienti in _ℚ_∏ aventi determinante diverso da 0, e ϱ_[∼∏ è un omomorfismo continuo. Si richiede che ϱ_[∼∏ soddisfi la seguente condizione: se ℓ è un numero primo che non divide Np e Frob_ℓ indica l’elemento di Frobenius in ℓ, allora la traccia della matrice ϱ_[∼∏(Frob_ℓ) è uguale al coefficiente di Fourier a_ℓ di indice ℓ di f. La costruzione della rappresentazione galoisiana è essenziale per le applicazioni aritmetiche della teoria delle forme modulari; in particolare, essa svolge un ruolo essenziale nella dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat (in cui si considerano forme modulari di peso 2).

→ Fermat, ultimo teorema di