Fisica atomica

Fisica atomica

La fisica atomica è stata rivoluzionata, negli ultimi anni, da nuovi metodi per il controllo della velocità e della posizione degli atomi e il raffreddamento di gas atomici fino a temperature prossime allo zero assoluto. In un gas, gli atomi si muovono in tutte le direzioni con velocità che dipendono dalla temperatura. A temperatura ambiente, la velocità degli atomi è 10²÷10³ m/s, a seconda della massa atomica. In molti esperimenti, è necessario avere atomi con velocità molto basse ed elevate densità, senza che ciò vari le loro proprietà intrinseche. Il metodo di raffreddamento basato sulle collisioni degli atomi con le pareti di un contenitore freddo è limitato a temperature al di sopra di quella di condensazione del gas, mentre tecniche di raffreddamento, in cui si fanno interagire gli atomi con la radiazione emessa da un laser, consentono di raggiungere temperature estremamente basse, fino a 10^-6 K: le proprietà di coerenza permettono di considerare la radiazione laser un sistema a bassissima temperatura, così da diminuire l'energia cinetica degli atomi, trasferendola in parte al campo elettromagnetico. Con tali tecniche, gli atomi raffreddati possono essere confinati in trappole, delimitate non da pareti materiali, ma da campi elettromagnetici. Si può quindi disporre di campioni atomici con velocità molto basse e densità elevate, ideali per esperimenti di spettroscopia ad alta risoluzione, di fisica delle collisioni e di ottica atomica.

In spettroscopia ad altissima risoluzione, l'utilizzo di atomi raffreddati consente di ridurre drasticamente le cause di allargamento delle righe atomiche, fino al limite della loro larghezza naturale. Una possibile applicazione è data dallo sviluppo di orologi atomici usati come campioni di tempo e frequenza. In diversi laboratori, si sta lavorando al raffreddamento e intrappolamento di atomi neutri o ioni e allo studio delle configurazioni più adatte a eliminare gli effetti che possono limitare la misura della frequenza delle transizioni ottiche. Per la misura diretta della frequenza delle transizioni atomiche, John L. Hall e Theodor W. Hänsch ebbero nel 2005 il premio Nobel per la fisica.

Le tecniche di raffreddamento e intrappolamento laser hanno consentito anche lo sviluppo di un'ottica atomica con gli atomi al posto dei fotoni. Dispositivi analoghi a quelli dell'ottica tradizionale (specchi, lenti e separatori di fascio) hanno permesso di compiere esperimenti di interferometria atomica, per es., analoghi all'esperimento di Young, con osservazione di frange di interferenza dovute al passaggio degli atomi in una doppia fenditura.

Sviluppando le tecniche di raffreddamento si è giunti, in anni recenti, all'osservazione diretta della condensazione di Bose-Einstein, un fenomeno previsto da Einstein nel 1924 e ottenuto per la prima volta nel 1995. Sviluppi delle stesse tecniche di raffreddamento hanno consentito di ottenere anche gas quantistici di fermioni e miscele ultrafredde di specie atomiche diverse.

Con le bassissime temperature a cui si possono produrre campioni atomici si può anche investigare la fisica delle collisioni in regimi inesplorati, poiché la lunghezza d'onda di de Broglie degli atomi diventa confrontabile con le loro distanze di interazione. Interessanti prospettive aperte dall'intrappolamento di atomi su tempi lunghi nascono, infine, dallo studio di campioni radio-attivi o di antimateria per la verifica di teorie fondamentali e di leggi di simmetria.

Raffreddamento e confinamentodi atomi con luce laser

Lo studio del raffreddamento e confinamento di atomi mediante luce laser ha costituito uno dei campi più attivi della ricerca in fisica atomica nell'ultimo decennio del XX secolo. Si basa su una sapiente utilizzazione dell'impulso scambiato tra il fotone e l'atomo nei processi di assorbimento e di emissione di luce e ha portato a notevoli successi, coronati dall'assegnazione del premio Nobel per la Fisica nel 1997 a Claude Cohen-Tannoudji, Steven Chu e William D. Phillips. Di seguito sono illustrati gli aspetti più rilevanti del fenomeno e le tappe sperimentali più significative.

In base al principio di conservazione della quantità di moto, un atomo di massa M che assorba o emetta un fotone di frequenza ν varia la propria velocità di una quantità pari a v_r=hν/(Mc), dove h è la costante di Planck e c è la velocità della luce nel vuoto; la quantità di moto del fotone vale infatti hν/c. Tale variazione di velocità, seppur piccola, non è trascurabile: se si considera un fascio termico di atomi di sodio, la cui velocità tipica è v0∼1.000 m/s, e un fascio laser che si propaga in direzione opposta, perché un atomo si arresti è sufficiente che esso assorba un numero di fotoni N_f=v0/v_r∼33.000. Dopo ogni assorbimento, perché possa essere assorbito un nuovo fotone, l'atomo dovrà diseccitarsi; l'emissione spontanea di un fotone avviene in una direzione casuale e quindi, in media, non modifica la velocità dell'atomo. Un ciclo di assorbimento e riemissione può avere una durata dell'ordine della vita media τ dello stato eccitato dell'atomo; per le transizioni considerate, si ha τ∼20 ns. Gli atomi assorbono perciò i fotoni necessari al loro arresto in pochi millisecondi; il tempo effettivamente impiegato dipende oltre che da τ da diversi altri fattori, quali la frequenza e l'intensità della radiazione laser.

Per studiare in maggior dettaglio l'interazione tra gli atomi e la radiazione laser, consideriamo un modello semplice di un atomo con due soli livelli, uno fondamentale e uno eccitato, di energie rispettivamente E_f ed E_e, separate di una quantità E_e−E_f=hν_A; l'atomo interagisce con un'onda piana, di frequenza ν_L e intensità I, che si propaga nella direzione individuata dal versore n. Indichiamo con v la velocità dell'atomo e con δ=ν_L−ν_A la differenza tra la frequenza del laser e la frequenza di risonanza atomica ν_A. Chiamiamo, inoltre, Γ=1/(2πτ) la larghezza naturale (in Hz) della risonanza atomica, larghezza dovuta al fatto che la vita media τ dello stato eccitato non è infinita. Il numero di cicli di assorbimento e riemissione spontanea di fotoni nell'unità di tempo è dato dal tasso di emissioni spontanee, 1/τ, moltiplicato per la probabilità di occupazione dello stato eccitato. Per un atomo, la probabilità p_e(v) di essere eccitato è:

[1] formula

dove I0 è chiamata intensità di saturazione. La quantità d_eff =[δ−(ν_L/c)v∙n] rappresenta il disaccordo effettivo della frequenza del laser dalla frequenza di risonanza dell'atomo, dovuto sia alla differenza tra la frequenza del laser e quella propria dell'atomo fermo, sia all'effetto Doppler causato dal moto dell'atomo. Come si è detto, ogni ciclo di assorbimento e riemissione di un fotone trasferisce in media all'atomo un impulso hν_L/c, pari a quello di un fotone. Si può allora definire la forza F_sp, detta spontanea o per pressione di radiazione, esercitata dalla radiazione sull'atomo; essa è data dalla variazione della quantità di moto dell'atomo nell'unità di tempo, ossia dall'impulso trasferito da un fotone moltiplicato per il numero di cicli di assorbimento ed emissione spontanea nell'unità di tempo. Utilizzando la [1], si ha allora:

[2] formula

La [2] rappresenta la forza media sull'atomo durante diversi cicli di assorbimento ed emissione. L'espressione ricavata ha senso purché d_eff non vari molto durante questo intervallo di tempo, in modo da poter parlare di una forza media. Come si vede dalla [2], per alte intensità della radiazione (I≫I0) si raggiunge il valore limite F_max=hν_L/(2τc), dovuto appunto al tempo minimo, dell'ordine di 2τ, necessario per un ciclo di assorbimento ed emissione spontanea. L'accelerazione massima esercitata su un atomo è a_max=F_max/M=hν_L/(2Mcτ). Nel caso di un atomo di sodio, per esempio, si ha a_max≈106 m/s2≈105 g, con g accelerazione di gravità. Accelerazioni così elevate permettono di arrestare un atomo che abbia una velocità iniziale v_in≈1000 m/s in un tempo T_stop=v_in/a_max di qualche millisecondo, in uno spazio L_stop=(1/2)a_maxT²_stop tipicamente inferiore a un metro.

Nella realizzazione di un esperimento di frenamento sorgono però alcuni problemi trascurati in questo modello. I principali sono legati alla struttura reale di un atomo, che non ha due soli livelli energetici, e alla variazione del disaccordo effettivo d_eff della frequenza del laser al variare della velocità dell'atomo; le soluzioni trovate sono riferite più avanti. Prima di proseguire nella descrizione dei diversi schemi di raffreddamento finora dimostratisi validi, è interessante studiare qual è il limite inferiore per la temperatura che ci si attende di poter raggiungere con questi metodi. Finora è stata infatti discussa la possibilità di frenare un atomo, ma per poter parlare di raffreddamento si deve poter ridurre la larghezza della distribuzione delle velocità (relativa a un campione di molti atomi). Un limite minimo fondamentale è costituito dalla temperatura T_r, detta temperatura di rinculo, limite dovuto al fatto che lo scambio di impulso tra atomi e radiazione laser avviene per quantità discrete; l'indeterminazione finale sulla velocità degli atomi non può quindi essere inferiore a quella corrispondente al rinculo per emissione di un singolo fotone:

[3] formula

con k_B costante di Boltzmann. Questo limite corrisponde a temperature estremamente basse. Per esempio, per la transizione D2 dell'atomo di sodio si ha T_r=2,4 μK; per il cesio T_r=197 nK. In realtà, nei processi di raffreddamento basati sulla diffusione di fotoni per emissione spontanea esiste un'altra temperatura limite, detta temperatura Doppler T_D, dovuta alla natura casuale del processo di emissione spontanea. Per un campione di atomi con un impulso ben definito, l'emissione spontanea di fotoni, essendo isotropa, non incide sul valore medio 〈p〉 dell'impulso, ma accresce l'indeterminazione nei suoi valori, ossia causa un aumento della quantità 〈p2〉. Se si studia la competizione tra questo effetto e il raffreddamento laser, si trova che la temperatura T_D è data dalla relazione:

[4] k_BT_D = hΓ/2.

Questa temperatura è generalmente maggiore di T_r: nel caso del sodio si ha T_D=240 μK e nel caso del cesio T_D=120 μK.

Di seguito sono descritti metodi di raffreddamento laser che hanno permesso di raggiungere la temperatura Doppler T_D e di dimostrare la possibilità di scendere al di sotto di tale temperatura, fino ad avvicinarsi alla temperatura di rinculo T_r.

Rallentamento di un fascio atomico

Le prime esperienze di raffreddamento di atomi mediante radiazione laser sono state eseguite su fasci collimati di atomi. Un esperimento di raffreddamento di atomi in un fascio atomico è in linea di principio più semplice di quello di raffreddamento di atomi in un gas. Se il fascio è ben collimato, infatti, la dispersione delle velocità nelle direzioni perpendicolari a quella del moto degli atomi è già molto bassa, cosicché ci si può limitare a un esperimento di raffreddamento in una sola dimensione.

fig. 2

Come si è accennato in precedenza, un fascio di atomi può essere rallentato inviando un fascio laser in direzione opposta a quella del moto degli atomi; la radiazione laser deve avere frequenza tale da poter essere assorbita dagli atomi. A causa dell'effetto Doppler dovuto al moto di questi ultimi, tale frequenza deve essere accordata a una frequenza ν_L, minore di quella di risonanza atomica ν_A, che dipende dalla velocità v degli atomi che si vogliono rallentare. Dalla [2] si vede che la forza esercitata su un atomo è piccola se [δ−ν_L(v/c)]≫Γ, ossia se il disaccordo effettivo del laser è molto maggiore della larghezza naturale della riga atomica. In altri termini, per ogni valore della frequenza del laser, soltanto quegli atomi la cui velocità è compresa in un intervallo di larghezza Δv≈Γc/ν_L (detto intervallo di cattura) potranno risentire di una forza non trascurabile. Se si considera per esempio un fascio termico di atomi di sodio, l'intervallo di cattura risulta di 6 m/s, molto piccolo rispetto alla larghezza della distribuzione delle velocità atomiche nel fascio, che è di 500 m/s. La fig. 2 mostra, infatti, il cambiamento nella distribuzione delle velocità atomiche prodotto da un laser di frequenza ν_L〈ν_A. Gli atomi, la cui velocità iniziale è tale da permettere loro di interagire con il laser, sono rallentati fino a raggiungere una velocità al di fuori dell'intervallo di cattura; gli atomi, invece, inizialmente al di fuori di questo intervallo, non interagiscono con il laser e non sono rallentati. Come si vede dalla figura, l'effetto del laser è di rallentare una frazione degli atomi e di schiacciarne le velocità, accumulandoli in un intervallo di velocità minore di quello iniziale. Si ha quindi un effetto di raffreddamento oltre che di rallentamento.

fig. 3

Il problema connesso a questo schema è che soltanto una piccola parte degli atomi è rallentata, e solamente di una piccola quantità. Per risolverlo esistono due metodi: (a) si può variare la frequenza del laser in modo che alcuni atomi siano sempre in risonanza con esso, fino a raggiungere la velocità desiderata; (b) si può, utilizzando un campo magnetico esterno, variare la frequenza di risonanza atomica in modo che sia verificata la condizione di risonanza. Nel primo metodo, la frequenza del laser varia linearmente nel tempo. Il disaccordo della frequenza laser rispetto alla risonanza atomica è compreso quindi tra i valori δ_in e δ_fin, dove δ_in determina la velocità massima degli atomi che interagiscono con il laser e δ_fin fissa invece la velocità raggiunta dagli atomi alla fine del processo di rallentamento. Se δ_fin≈0, gli atomi sono rallentati fino a v≈0. Nella fig. 3 sono mostrate le distribuzioni di velocità atomiche ottenute in un fascio rallentato di cesio, per diversi valori di δ_fin. Gli atomi sono rallentati fino a velocità intorno allo zero ed è anche possibile invertirne il moto.

Si noti che un solo gruppo di atomi è rallentato durante l'applicazione della frequenza laser: gli atomi che escono dalla sorgente con una velocità più alta di quella corrispondente alla risonanza con il laser in quell'istante proseguono indisturbati, senza subire rallentamento; soltanto se si ripete il processo diverse volte e si usa un apparato sufficientemente lungo è possibile rallentare una frazione elevata degli atomi nel fascio. Poiché il rallentamento di atomi veloci richiede uno spazio maggiore di quello per atomi inizialmente lenti, in questo schema gli atomi rallentati non sono localizzati, ma distribuiti lungo il fascio. La necessità di variazioni comunque molto rapide della frequenza di emissione del laser può rappresentare un problema dal punto di vista sperimentale, e si comprende perciò come l'applicazione di questo metodo di raffreddamento sia stata molto semplificata dall'uso di laser a diodo semiconduttore, la cui frequenza di emissione può essere rapidamente variata agendo direttamente sulla corrente di iniezione.

fig. 4

Un metodo diverso da quello fin qui esposto fa uso di un campo di induzione magnetica statico non omogeneo B(z), mediante il quale ottenere una frequenza di risonanza atomica dipendente dalla posizione z degli atomi lungo il fascio atomico. Lo scopo è ancora di conservare, al variare della velocità degli atomi rallentati, la condizione di risonanza tra frequenza atomica e frequenza laser; in questo caso, però, si utilizza lo spostamento Zeeman dei livelli atomici per variare la frequenza atomica, lasciando invece invariata la frequenza del laser. La differenza, rispetto al metodo illustrato in precedenza, non riguarda solamente l'aspetto tecnico: mentre prima, per diverse velocità atomiche, la risonanza era realizzata in diversi istanti dell'applicazione della frequenza laser, ora si ha la risonanza in diverse zone del magnete. Nel primo caso, il parametro da ottimizzare era l'andamento temporale della frequenza laser, mentre qui è l'andamento spaziale dell'intensità del campo magnetico. In fig. 4 si mostra lo schema di un apparato per il frenamento di un fascio di atomi con questo metodo, in cui il campo magnetico è generato da un solenoide a sezione variabile. Nel caso di un fascio di sodio, con v_in≈1000 m/s, per esempio, l'intensità massima del campo magnetico richiesto è B0≈0,1 T. È necessario quindi usare solenoidi di notevoli dimensioni o valori elevati di corrente. Il maggior vantaggio offerto da questo metodo è che esso permette di rallentare e raffreddare una frazione anche molto elevata degli atomi del fascio, portandoli tutti alla stessa velocità all'uscita del solenoide.

Melasse ottiche

fig. 5

Nel paragrafo precedente, si è descritto il frenamento di un fascio atomico mediante un fascio laser che si propaga in direzione opposta al moto degli atomi. In realtà, la prima proposta di raffreddamento di atomi con radiazione laser, avanzata da Theodor W. Hänsch e Arthur L. Schawlow nel 1975, prevedeva, per il raffreddamento in una dimensione, l'uso di due fasci laser di frequenza più bassa di quella di risonanza e con direzioni di propagazione opposte (fig. 5). In questo schema, l'atomo, se si muove verso destra, a causa dell'effetto Doppler vedrà più vicina alla risonanza la frequenza del fascio che proviene da destra rispetto a quella del fascio proveniente da sinistra e, quindi, assorbirà fotoni soprattutto dal fascio di destra, diminuendo la propria velocità; allo stesso modo, se si muove verso sinistra, rallenterà assorbendo fotoni prevalentemente dal fascio che proviene da sinistra. L'atomo risente quindi di una forza diretta sempre nel verso opposto alla sua velocità; si tratta di una forza di tipo viscoso, che ha suggerito il nome di melassa ottica: utilizzando la [2] per questa configurazione in una dimensione, si può scrivere la forza esercitata sull'atomo dai due fasci laser come la somma delle forze esercitate da ognuno dei due (ciò è corretto se si può trascurare l'emissione di fotoni indotta, ossia se I/I0≪1). Si ha allora:

[5] formula.

Il verso della forza è sempre opposto alla velocità atomica. Per basse velocità (v〈Γc/(2ν_L)) la forza dipende linearmente dalla velocità; per piccoli valori di v, infatti, la [5] può essere approssimata con l'espressione:

[6] formula.

Si ha appunto una forza di tipo viscoso e α rappresenta il coefficiente di viscosità. Per un dato valore di I/I0, il valore massimo di α si ottiene per 2δ/Γ=−1/√‾3 . Il modello utilizzato fin qui è valido soltanto in una dimensione, nei limiti delle approssimazioni fatte, e l'estensione a più dimensioni e a casi più generali risulta difficile. Dal punto di vista sperimentale, una melassa in tre dimensioni è stata realizzata per la prima volta dal gruppo di Chu nel 1985.

L'assorbimento e la riemissione di fotoni può avere due effetti: il primo è un raffreddamento degli atomi causato dalla forza viscosa ricavata sopra; il secondo effetto è, invece, un riscaldamento dovuto alla natura discreta e casuale dello scambio di impulso tra atomo e campo elettromagnetico. Ciascuno dei due processi contribuisce in proporzione diversa a seconda della temperatura e vi sarà bilanciamento a una temperatura, detta di equilibrio. Dalla relazione k_BT/2=M〈v2〉/2 si ricava

[7] formula.

La temperatura minima si ottiene per δ=Γ/2 e corrisponde alla temperatura limite Doppler T_D, data dalla [4], cioè k_BT_D=hΓ/2.

fig. 6

fig. 7

Misurazioni accurate della temperatura degli atomi raffreddati, condotte inizialmente da Phillips, hanno mostrato, sorprendentemente, che è possibile raggiungere temperature molto più basse del limite Doppler. La misurazione della temperatura in una melassa atomica non è semplice. Una possibilità sarebbe quella di misurare l'allargamento Doppler di una riga, che però, date le bassissime velocità degli atomi, è molto piccolo, in genere ‒ a meno di non utilizzare transizioni estremamente deboli ‒ inferiore alla larghezza naturale tipica delle righe atomiche. Il metodo più diffuso è quello della misurazione del tempo di transito degli atomi in una regione posta al di sotto della melassa: il relativo apparato è schematicamente mostrato nella fig. 6. Dopo aver raffreddato gli atomi in una melassa, i fasci laser sono spenti e gli atomi cadono per effetto della gravità. Al di sotto della melassa, è inviato un fascio laser di sonda, la cui frequenza è risonante con la transizione atomica. Il passaggio degli atomi attraverso questo fascio è rilevato misurando con un fotodiodo la luce che essi emettono per fluorescenza. Poiché gli atomi inizialmente più veloci raggiungono per primi la regione di osservazione, si può ricavare la distribuzione di velocità dal tempo totale di transito degli atomi attraverso il fascio di sonda. La fig. 7 mostra il risultato di un esperimento realizzato presso il laboratorio LENS (Laboratorio europeo di spettroscopia non lineare) di Firenze con atomi di cesio: la temperatura che si ricava da questa misurazione è di 2,5 μK, più bassa di quella Doppler, che, come si è detto, è di 120 μK.

Non soltanto le misure di temperatura, ma anche altre osservazioni sulle caratteristiche delle melasse ottiche di atomi alcalini, hanno mostrato che il modello descritto prima per il raffreddamento Doppler fornisce previsioni in disaccordo con i risultati sperimentali. Per esempio, si trova che la temperatura minima raggiungibile sperimentalmente è proporzionale alla quantità I/δ.

fig. 8

Per comprendere queste osservazioni, si deve considerare un atomo i cui livelli di energia presentano una struttura composta da diversi sottolivelli Zeeman e tener conto del cosiddetto effetto Stark dinamico, detto anche spostamento luminoso dei livelli. Tale effetto è dovuto all'azione di una radiazione elettromagnetica di frequenza quasi risonante con una transizione tra i livelli di energia dell'atomo, che genera uno spostamento dipendente dalla quantità I/δ. Per un dato sottolivello Zeeman, inoltre, lo spostamento dipende dalla polarizzazione della radiazione ed è tanto maggiore quanto maggiore è la probabilità di eccitazione a partire da quel sottolivello. Se la polarizzazione della radiazione non è costante, ma è diversa in differenti regioni dello spazio, lo spostamento dei livelli di energia dipenderà dalla posizione dell'atomo. Nella fig. 8 è mostrato il caso di due onde polarizzate linearmente che si propagano in direzioni opposte con polarizzazioni perpendicolari tra di loro: in tale configurazione è possibile realizzare una melassa. La polarizzazione del campo risultante varia a seconda della posizione, per cui si hanno gradienti di polarizzazione. La figura mostra lo spostamento luminoso dei livelli nel caso δ〈0, per un atomo il cui momento della quantità di moto vale J_f=1/2 (m_f=±1/2) nello stato fondamentale e J_e=3/2 (m_e=±1/2, ±3/2) in quello eccitato. Per δ〈0, tutti i sottolivelli dello stato fondamentale sono spostati verso il basso; gli spostamenti sono proporzionali alle probabilità di eccitazione, indicate, per i livelli considerati, in fig. 8A. Al variare della polarizzazione della radiazione la posizione dei livelli oscilla nello spazio. Osservando la fig. 8C si comprende qual è il meccanismo che può portare al rallentamento dell'atomo, se quest'ultimo si muove in presenza delle due onde.

Supponiamo che l'atomo si muova da sinistra verso destra, a partire dalla posizione z=λ/8. A causa della polarizzazione σ⁻ della luce, esso è pompato otticamente nel sottolivello m_f=−1/2. Se ha una velocità tale da percorrere una distanza dell'ordine di λ/4 nel tempo τ_p, necessario per il pompaggio ottico da un sottolivello all'altro dello stato fondamentale, l'atomo rimarrà nel sottolivello m_f=−1/2 fino a che non avrà raggiunto una posizione in cui la polarizzazione della radiazione è σ⁺; potrà allora effettuare la transizione verso il livello m_e=+1/2 dello stato eccitato e decadere poi nel sottolivello m_f=+1/2, a partire dal quale sarà possibile iniziare un nuovo ciclo. In questo processo di pompaggio ottico da un sottolivello all'altro, l'atomo perde un'energia cinetica pari alla separazione tra i due sottolivelli nella zona di eccitazione, proporzionale a I/δ. Tale fenomeno è stato denominato effetto Sisifo da Claude Cohen-Tannoudji e Jean Dalibard, i primi a spiegare in questo modo le basse temperature osservate nelle melasse: come nel mito di Sisifo, l'atomo è costretto a scalare continuamente barriere di potenziale, dalle quali poi cade. Si può quindi comprendere sia come tale effetto possa portare a un raffreddamento degli atomi sia perché il limite alla temperatura minima raggiungibile sia proprio dato da questa quantità, dal momento che in ogni ciclo un atomo perde una quantità di energia dell'ordine di U0. Si ha allora:

[8] k_BT ≈ U₀ ∝ I/δ .

Ci si attendono dunque temperature tanto più basse quanto minore è l'intensità del laser e quanto maggiore è il disaccordo δ, andamento che è stato verificato sperimentalmente in melasse tridimensionali fino a temperature molto basse. Il limite inferiore è dato dall'effetto di riscaldamento dovuto alla diffusione dei fotoni, che diventa importante quando U0 è confron-tabile con l'energia di rinculo. Nel caso del sodio, laminima temperatura ottenuta è stata di 20 μK, corrispondente a ≈8 T_r; nel caso del cesio il limite minimo misurato è stato di 2,5 μK, pari a ≈12 T_r.

È bene osservare che la descrizione fatta fin qui dei processi di interazione tra gli atomi e la radiazione laser è di tipo semiclassico. L'atomo, infatti, è considerato come una particella puntiforme con valori ben determinati di posizione e velocità. Questa approssimazione è valida soltanto se la dimensione del pacchetto d'onda associato all'atomo è molto minore della lunghezza d'onda della radiazione e se l'indeterminazione sulla velocità è tale che la larghezza Doppler è minore della larghezza naturale della risonanza. Quando però la temperatura si avvicina alla temperatura di rinculo, la lunghezza d'onda di de Broglie dell'atomo diventa dell'ordine della lunghezza d'onda della radiazione e l'approssimazione semiclassica non è più corretta: in queste condizioni, per la descrizione del sistema costituito da atomi e radiazione, è necessaria una trattazione puramente quantistica. Esistono attualmente due diversi metodi di raffreddamento laser, che per brevità citiamo solamente, che hanno permesso di raggiungere temperature dell'ordine, o più basse, di quella di rinculo. Il primo è detto intrappolamento coerente e selettivo in velocità della popolazione atomica (VSCPT, velocity selective coherent population trapping) ed è basato sull'effetto di intrappolamento degli atomi in uno stato in cui non possono assorbire luce (effetto scoperto nel 1976 da Adriano Gozzini a Pisa). Il secondo metodo è detto raffreddamento Raman, in quanto è basato su transizioni Raman selettive in velocità, che portano gli atomi a muoversi con velocità prossime a v=0.

La trappola magneto-ottica

La trappola magneto-ottica (MOT, Magneto-optical trap) è quella attualmente più in uso per atomi neutri e permette di intrappolare e raffreddare molti atomi con elevate densità, anche a partire da un gas a temperatura ambiente. È relativamente semplice da realizzare, consistendo essenzialmente nella combinazione di una configurazione di fasci laser, analoga a quella usata per una melassa, e di un campo magnetico statico disomogeneo.

fig. 10

Il principio di funzionamento può essere compreso considerando il semplice modello in una dimensione, illustrato nella fig. 10. Due fasci laser contropropaganti, polarizzati circolarmente in versi opposti, interagiscono con un atomo in presenza del campo magnetico disomogeneo. Per semplicità, l'atomo è rappresentato mediante due soli livelli, uno fondamentale e uno eccitato, il cui momento della quantità di moto vale rispettivamente J_f=0 e J_e=1. Il campo magnetico, nullo al centro, a destra del centro è diretto verso destra e a sinistra verso sinistra, come illustrato nella fig. 10A. A causa dell'effetto Zeeman, il campo provoca una separazione dei sottolivelli magnetici m_e=−1, 0, +1. In base alla regola di selezione, che deriva dalla conservazione della proiezione J_z del momento della quantità di moto lungo l'asse z, il fascio polarizzato σ⁻, che proviene da destra, può indurre solamente la transizione verso il livello m_e=−1, mentre il fascio polarizzato σ⁺, che proviene da sinistra, può eccitare soltanto la transizione verso il livello m_e=+1. Se i fasci laser hanno una frequenza minore di quella della transizione atomica si ha che, a causa dell'effetto Zeeman, un atomo che si trova a destra del centro della trappola interagisce maggiormente con il fascio che proviene da destra, compiendo una transizione m_f=0→m_e=−1; la pressione di radiazione spinge allora l'atomo verso il centro. Allo stesso modo un atomo che si trovi a sinistra del centro della trappola è spinto verso il centro dal fascio che proviene da sinistra.

Una caratteristica importante della trappola magneto-ottica è che gli atomi sono non soltanto intrappolati, ma anche raffreddati. Il meccanismo di raffreddamento è analogo a quello che si ha in una melassa (si è verificato che anche nella trappola magneto-ottica si può avere un raffreddamento subDoppler, dovuto al gradiente di polarizzazione). Rispetto a una melassa, però, la presenza del campo magnetico ha un effetto analogo a quello descritto per il raffreddamento di un fascio atomico.

La forza risentita dagli atomi in una trappola magneto-ottica può essere espressa come la somma delle forze esercitate da ognuno dei due fasci laser, in modo da ricavare un'espressione analoga alla [5], trovata per le melasse ottiche; in questo caso, però, nell'espressione del disaccordo effettivo d_eff va incluso lo spostamento dei livelli atomici prodotto dal campo magnetico, (μ_B/h)B(z)(g_em_e−g_fm_f), dove μ_B è il magnetone di Bohr, mentre g_e e g_f rappresentano i fattori di Landé dei due livelli. Per piccole distanze z dal centro della trappola, si può considerare che il campo vari linearmente con la distanza, ossia B(z)=B0z. Assumendo anche, per semplicità, (g_em_e−g_fm_f)≈1, lo spostamento dei livelli prodotto dal campo magnetico può essere scritto come (μ_B/h)B0z=βz. Nel limite di bassa velocità e di debole campo magnetico, la forza F(v, z) esercitata su un atomo con velocità v nella posizione z può essere scritta come:

[9] formula.

A differenza dell'espressione [6] trovata nel caso delle melasse, si ha quindi una dipendenza della forza dalla posizione z dell'atomo, il cui effetto è un moto armonico smorzato. Grazie all'efficienza del processo di raffreddamento, la profondità efficace di questa trappola, ossia la temperatura massima degli atomi che possono esservi intrappolati, è maggiore di quella statica, che è tipicamente dell'ordine di qualche K.

fig. 11

Lo schema descritto nel caso di una sola dimensione può essere esteso all'intrappolamento in tre dimensioni utilizzando tre coppie di fasci contropropaganti polarizzati circolarmente che si intersecano nella zona dove il campo magnetico è nullo, come mostrato nella fig. 11. La figura mostra anche come è generato il campo magnetico della forma richiesta per l'intrappolamento in tre dimensioni utilizzando due bobine in configurazione anti-Helmholtz, ossia due bobine parallele percorse dalla stessa corrente i, come nelle bobine di Helmholtz, ma in versi opposti.

La trappola magneto-ottica rappresenta un sistema molto efficace per la raccolta e il raffreddamento di atomi a partire da fasci atomici o anche da un gas in una cella a temperatura ambiente. Sono state intrappolate finora diverse specie atomiche che presentano transizioni corrispondenti a lunghezze d'onda raggiungibili dai laser disponibili, quali atomi di metalli alcalini, alcalino-terrosi o di gas nobili in livelli metastabili. Il numero degli atomi intrappolati e le densità atomiche ottenibili sono notevoli: in una trappola magneto-ottica di cesio, per esempio, si possono tipicamente intrappolare 108 atomi in un volume di circa 1 mm3, con densità quindi di 1010÷1011 atomi/cm3 a temperature di 50÷100 μK. Gli atomi intrappolati possono essere osservati rilevando la luce che emettono per fluorescenza.

Data la sua versatilità, in molti esperimenti la trappola magneto-ottica è utilizzata come primo stadio per la raccolta di un numero elevato di atomi a bassa temperatura; interrompendo poi la corrente nelle bobine e lasciando i fasci laser accesi, si può ottenere una melassa atomica. Si possono avere in questo modo elevate densità di atomi, alle temperature estremamente basse raggiungibili in una melassa.

La trappola dipolare

La trappola dipolare è una trappola puramente ottica, basata sulla forza dipolare, che è proporzionale al gradiente d'intensità della radiazione. L'origine di questa forza può essere compresa considerando l'atomo in presenza della radiazione elettromagnetica come un oscillatore armonico forzato ed elettricamente carico. Il momento di dipolo oscillante d è in fase con il campo elettromagnetico E, se la frequenza della radiazione è minore di quella di risonanza, mentre per frequenze maggiori è in opposizione di fase. L'energia di interazione tra il dipolo e il campo è W=−d∙E. Per frequenze minori di quella di risonanza, l'energia W è negativa e quindi, se l'intensità non è costante, l'oscillatore è attirato verso la regione di massima intensità.

La forza dipolare può anche essere interpretata come dovuta all'effetto Stark dinamico. Infatti, come si è già detto in precedenza, la radiazione elettromagnetica provoca uno spostamento dei livelli atomici che, con buona approssimazione, è proporzionale all'intensità I della radiazione e inversamente proporzionale alla differenza δ tra la sua frequenza e la frequenza di risonanza atomica. In presenza di un gradiente d'intensità, un atomo risente quindi di una forza che può essere derivata da un potenziale U proporzionale alla quantità I/δ.

fig. 12

Una trappola dipolare può essere realizzata focalizzando un fascio laser gaussiano di frequenza minore di quella di risonanza (fig. 12). Un atomo nella regione del fuoco si trova allora nel massimo d'intensità e può rimanervi intrappolato. In questa trappola non si ha diminuzione di energia e quindi non si presenta alcun effetto di raffreddamento degli atomi. Per intrappolare questi ultimi, è necessario che essi siano stati già raffreddati (per esempio, in una melassa) a temperature inferiori alla profondità della trappola (tipicamente dell'ordine di qualche frazione di K). Un'altra condizione importante è che il riscaldamento dovuto all'assorbimento e alla riemissione spontanea di fotoni non provochi un aumento troppo rapido della temperatura degli atomi e la loro espulsione dalla trappola. Dall'espressione [1] si deduce che, per valori sufficientemente grandi del disaccordo δ, il numero di fotoni emessi spontaneamente da un atomo in un dato tempo è proporzionale alla quantità I/δ2. Per ottenere lunghi tempi di intrappolamento è necessario quindi utilizzare il più grande valore di disaccordo δ possibile, compatibilmente con l'intensità laser disponibile. In questo modo, a parità di profondità della trappola, viene ridotto il tasso di emissioni spontanee e quindi il riscaldamento degli atomi.

Sebbene la trappola dipolare sia concettualmente molto semplice, la sua realizzazione pratica presenta alcuni problemi, connessi, appunto, alla necessità di elevate potenze laser. Essa offre d'altra parte vantaggi importanti rispetto ad altre trappole, in quegli esperimenti in cui è necessario che gli atomi, oltre a essere confinati con elevate densità e in un volume molto piccolo, si trovino tutti nel livello fondamentale. Inoltre questa trappola, poiché non richiede l'assorbimento di fotoni, può essere usata nell'intrappolamento di sistemi con spettri di assorbimento molto più complessi di quelli atomici, quali molecole o microparticelle molto lente.

Condensazione di Bose-Einstein

La condensazione di Bose-Einstein (BEC, Bose-Einstein condensation) è un fenomeno puramente quantistico, in base al quale un gas di particelle identiche non interagenti, descritto da una funzione d'onda simmetrica per lo scambio di due di esse, subisce una transizione di fase quando la lunghezza d'onda di de Broglie diventa confrontabile con la distanza tra le particelle. Come è noto, nella teoria quantistica le particelle descritte da una funzione d'onda simmetrica per lo scambio di due particelle sono dette bosoni e obbediscono alla statistica di Bose-Einstein; le particelle descritte da una funzione d'onda antisimmetrica sono invece dette fermioni e obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac. Quando la temperatura di un gas di bosoni è ridotta al di sotto di un valore critico, ci si attende che essi si accumulino nel livello fondamentale del sistema ed evidenzino aspetti di comportamento collettivo analoghi a quelli che si hanno nella superfluidità dell'elio. Tale transizione avviene per densità nello spazio delle fasi nΛ3_dB=2,612 (che corrisponde alla cosiddetta condizione di degenerazione quantistica), dove n è la densità delle particelle e Λ_dB è la loro lunghezza d'onda di de Broglie. Quest'ultima dipende dalla massa m delle particelle e dalla temperatura termodinamica T tramite la relazione Λ_dB=h/(2πmk_BT)1^/2.

L'osservazione diretta della condensazione di Bose-Einstein è stata annunciata solamente nel 1995 da Eric A. Cornell e Carl E. Wieman insieme ai loro collaboratori del laboratorio JILA (Joint Institute for Laboratory Astrophysics), con atomi di rubidio (87Rb). Subito dopo è stata osservata dal gruppo di Wolfgang Ketterle, del MIT, con atomi di sodio (Na). Il regime di degenerazione quantistica è stato poi raggiunto per molti altri atomi, inclusi tutti i restanti elementi alcalini (ad eccezione del francio), l'drogeno, l'elio, il cromo e l'itterbio. Per tali ricerche questi tre scienziati sono stati insigniti nel 2001 del premio Nobel per la fisica. Le ragioni di tanta attesa tra predizione e osservazione sperimentale sono da ricercarsi nel fatto che la condizione di degenerazione quantistica richiede di operare ad alte densità e a temperature bassissime. Nel caso dell'atomo di rubidio, per raggiungere la condensazione di Bose-Einstein è necessario raffreddare un gas di atomi con densità di circa 1013 cm−3 a una temperatura prossima a 150 nK. È evidente che in questo caso non possono essere utilizzati metodi convenzionali di refrigerazione, anche perché bisogna evitare che, al diminuire della temperatura, il gas prima si liquefaccia e poi solidifichi. Gli esperimenti sono stati quindi condotti in condizioni di alto vuoto e hanno utilizzato l'interazione degli atomi con la radiazione laser per il raggiungimento di temperature dell'ordine dei μK. Queste temperature non sono ancora sufficientemente basse per la transizione di fase, ma consentono di catturare gli atomi in trappole magnetiche e di raffreddarli ulteriormente mediante un processo di evaporazione.

Lo studio della condensazione di Bose-Einstein su atomi raffreddati e intrappolati presenta diversi vantaggi rispetto ad altri sistemi in cui è possibile evidenziare effetti di questo tipo. Un aspetto importante deriva dal fatto che si parte da atomi poco interagenti e in assenza di perturbazioni esterne. Poiché è possibile variare la temperatura e la densità degli atomi, inoltre, si può studiare la transizione tra le due fasi in diverse condizioni, circostanza che permette una semplificazione dei processi e una loro comprensione più profonda.

Il metodo utilizzato per raggiungere le densità e le temperature richieste per il verificarsi della condensazione di Bose-Einstein è basato sulla successione di tre fasi: (a) raffreddamento e confinamento degli atomi mediante radiazione laser; (b) confinamento degli atomi in una trappola magnetica; (c) ulteriore raffreddamento e compressione degli atomi nella trappola mediante evaporazione.

Bibliografia

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