equazione di Boltzmann

equazione di Boltzmann

Descrive l’evoluzione temporale della densità di probabilità P(r,v,t) di trovare una molecola nella posizione r con velocità v al tempo t, in un sistema di N molecole (N>>1) diluite interagenti secondo le leggi della meccanica classica. Il caso più noto è quello delle sfere dure elastiche di massa m e diametro σ

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dove v₁₂=v₁−v₂, σˆ è il versore nella direzione congiungente i centri di massa delle due molecole, F(r) è un’eventuale forza esterna e per semplicità abbiamo assunto F(r)=−∇U(r). Le velocità pre-collisionali v*₁ e v*₂ devono soddisfare la regola d’urto

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La parte a sinistra dell’equazione, ossia

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è la cosiddetta derivata lagrangiana, mentre il termine a destra (di collisione) rappresenta la differenza tra il guadagno che si ha quando urtano v₁ e v₂, e la perdita dovuta all’urto tra v₁ e v₂. Il pedice + nel primo integrale rappresenta la restrizione v₁₂∙σˆ〈0 necessaria perché avvenga l’urto. L’equazione di Boltmann è un’approssimazione che è valida sotto due assunzioni: (a) solo le collisioni binarie sono importanti, e questo è vero nel limite di forte diluizione; (b) vale l’ipotesi di caos molecolare: si assume cioè che la densità di probabilità congiunta P₂(r,v₁,v₂,t) di avere due particelle intorno a r con velocità v₁ e v₂ sia il prodotto P(r,v₁,t)P(r,v₂,t). L’equazione di Boltzmann è alla base della moderna teoria cinetica e permette di dimostrare il celebre teorema H: la quantità

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dove P(r,v,t) evolve obbedendo all’equazione di Boltzmann, è una funzione non crescente

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ove il segno di uguale vale solo per la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Questo risultato è in qualche modo la ‘dimostrazione’ del secondo principio della termodinamica. Sono state usate le virgolette perché il problema è molto delicato, come evidenziato dai cosiddetti paradossi di Loschmidt e Zermelo: (a) le equazioni di Newton, che regolano l’evoluzione delle particelle, sono invarianti per inversione temporale (v→−v, r→r, t→−t), quindi l’irreversibilità dettata dal teorema H sembra inconsistente con la dinamica; (b) si ha il teorema di ricorrenza di Poincaré (dopo un certo tempo il sistema meccanico torna arbitrariamente vicino al suo stato iniziale) mentre H non può mai aumentare. La soluzione dei paradossi richiede l’utilizzo del limite di Grad-Boltzmann: N→∞ e σ→0 con Nσ² costante. In questo limite l’equazione di Boltzmann diventa esatta, accade cioè che se nell’istante iniziale vale l’ipotesi di caos molecolare (e questo accade per N>>1 con probabilità vicina a uno), allora tale ipotesi resta valida a ogni tempo successivo. Inoltre l’equazione di Boltzmann è il punto di partenza da cui ottenere le equazioni macroscopiche (per es. di Navier-Stokes, ma non solo).

→ Materiali granulari