distribuzione di Maxwell-Boltzmann

distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Valida per un sistema di particelle classiche in equilibrio termodinamico a temperatura T, esprime la probabilità p(v)dv di trovare una qualunque delle componenti v della velocità di una particella di massa m con valori compresi tra v e v+dv, e risulta

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Ciò equivale a dire che la densità di probabilità congiunta P(v) per il vettore v=(vx,vy,vz) è una gaussiana in cui ogni componente è indipendente dalle altre, con media nulla e varianza pari a kB/m:

[2]

Nel caso di un gas diluito essa è la soluzione stazionaria dell’equazione di Boltzmann e, per il teorema H, è anche la distribuzione alla quale converge per t →∞ ogni arbitraria P(v,t=0). Nei gas perfetti (in cui si trascurano le interazioni tra le particelle), a partire dall’espressione precedente per la P(v) si può calcolare la pressione sulle pareti di un contenitore di volume V contenente N particelle, ottenendo

[3]

dove U=N/2m〈v2〉 è l’energia media. La distribuzione di Maxwell-Boltzmann vale solo per i sistemi classici, tuttavia la relazione precedente per i gas perfetti mantiene la sua validità anche nel caso quantistico, regolato dalla statistica di Bose-Einstein oppure di Fermi-Dirac

→ Materiali granulari