congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

È considerata una delle questioni fondamentali della matematica contemporanea. La congettura in questione stabilisce una relazione tra le proprietà aritmetiche di una curva ellittica e le proprietà analitiche della funzione L (introdotta più avanti) a essa associata. Si ricordi che una curva ellittica (definita sui razionali) è la curva proiettiva piana E definita da un’equazione del tipo

y² = x³ + ax + B

in cui i coefficienti a e b sono numeri interi relativi soggetti alla condizione 4a³+27b²0. L’insieme E(ℚ) delle soluzioni nel campo ℚ dei numeri razionali di quest’equazione, con l’aggiunta del punto all’infinito O avente coordinate proiettive (0,1,0), è dotato di una struttura di gruppo commutativo con elemento neutro O. La somma di punti è caratterizzata dalla proprietà seguente: tre elementi P,Q,R di E(ℚ) hanno somma O precisamente quando appartengono alla stessa retta proiettiva (da intendersi come la retta tangente a E nel punto P nel caso in cui Q o R coincida con P). Un teorema di Mordell afferma che il gruppo E(ℚ) è finitamente generato, cioè è la somma di un gruppo finito e di un gruppo della forma ℤ^rΕ, dove ℤ indica il gruppo additivo degli interi relativi e r_Ε un intero non negativo, detto rango di E. La comprensione, sia teorica sia algoritmica, dell’intero r_Ε rappresenta il problema chiave nello studio della teoria aritmetica delle curve ellittiche. Se p è un numero primo che non divide il discriminante Δ_Ε=4a³+ 27b² di E, si indichi con n_p il numero delle soluzioni modulo p dell’equazione y²=x²+ax+b (cioè le soluzioni nel campo finito con p elementi ℤ/pℤ delle classi di resto modulo p) e con a_p il coefficiente p−n_p. La funzione L di E è la funzione in una variabile complessa s definita dalla formula

L(E,s) = Π(1 + a_pp_{^−s + p^1−2s)⁻¹}

dove il prodotto è effettuato su tutti i primi p che non dividono Δ_Ε . Si dimostra che questo prodotto infinito converge a una funzione analitica (cioè derivabile in senso complesso) sul semipiano dei numeri complessi la cui parte reale è maggiore di 3/2. Inoltre, il lavoro di Andrew Wiles e altri sull’ultimo teorema di Fermat mostra che L(E,s) si estende a una funzione analitica su tutto il piano complesso. La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che il rango r_Ε può essere descritto in termini delle proprietà analitiche di L(E,s). Si ricordi che l’ordine di annullamento di L(E,s) in s=1 è l’intero non negativo ϱ tale che L(E,s) si scrive come (s−1)^ϱf(s), dove f(s) è una funzione analitica sul piano complesso tale che f(1)0. Più precisamente, essa afferma che l’ordine di annullamente di L(E,s) nel punto s=1 è uguale al rango r_Ε di E. Questa congettura è stata dimostrata – grazie al lavoro dei matematici Benedict Gross, Don Zagier e Victor Kolyvagin – quando l’ordine di annullamento di L(E,s) in s=1 è al più 1. Se l’ordine di annullamento è maggiore di 1, la congettura resta del tutto aperta.

→ Fermat, ultimo teorema di