categoricita
Categoricità
Concetto introdotto nel 1905 dal matematico Oscar Veblen e oggi al centro di gran parte dell’attuale teoria dei modelli. In termini generali, una teoria T formulata in un qualsiasi linguaggio formale L (elementare, infinitario, del secondo ordine ecc.) è categorica se ha almeno un modello e tutti i modelli sono isomorfi a esso. Intuitivamente, quindi, una teoria categorica caratterizza a meno di isomorfismo un singolo modello, il modello inteso. È facile provare che se L è un linguaggio del secondo ordine, tanto la teoria TP di Peano dei numeri naturali, quanto la teoria TR dei numeri reali e quella TEn della geometria euclidea n-dimensionale formulate in L sono categoriche.
Un risultato analogo vale per la teoria del secondo ordine ZF degli insiemi una volta che ci si limiti a modelli transitivi di data altezza. La situazione cambia se si passa ai linguaggi elementari o a linguaggi più deboli del secondo ordine. Il teorema di Skolem stabilisce infatti che le uniche teorie elementari categoriche sono quelle che caratterizzano strutture finite di data cardinalità.
Risulta quindi opportuno relativizzare il concetto – come proposto da Jerzy Łos nel 1954 – e definire k-categorica, dove k è un cardinale, ogni teoria i cui modelli di cardinalità k sono isomorfi. Un teorema fondamentale al riguardo, dimostrato nel 1965 da Michael Morley, stabilisce che ogni teoria elementare numerabile, se è categorica in un cardinale più che numerabile, è categorica in tutti i cardinali più che numerabili. Ne segue che una teoria che sia categorica in qualche potenza o è categorica in tutti i cardinali, o è categorica solo in tutti i cardinali più che numerabili, o è categorica nella sola cardinalità numerabile.
Mentre sin dal 1959 esiste un risultato dovuto a Czeslaw Ryll-Nardzewski che caratterizza le teorie ℵ0-categoriche come quelle in cui per ogni n esiste solo un numero finito di formule con n variabili libere non equivalenti rispetto alla teoria, ben più complesso è lo studio delle teorie ℵ1-categoriche o di quello totalmente categoriche (categoriche in ogni cardinalità e dotate di modelli infiniti). A questo scopo è stata sviluppata la teoria della stabilità, nella forma datale da Saharon Shelah e poi in quella (stabilità geometrica) inaugurata dai lavori di Boris Zil’ber, Gregory Cherlin, Ehud Hrushowski e altri. Numerosi e fondamentali sono i risultati che collegano la categoricità ad altre proprietà centrali (stabilità, minimalità, omogeneità ecc.) e sono applicati a teorie e problemi di interesse matematico.