yield to maturity

yield to maturity

Rendimento a scadenza. Riferito in senso proprio a buoni senza cedola ZCB (➔ CTZ). Precisamente, rispetto a tale buono che rimborsa alla scadenza (maturity) T il valore 100 e il cui prezzo corrente all’epoca t è B(t,T)=B, indicando con τ=T−t, cioè il tempo a scadenza del buono (misurato in anni), lo ‘spot y. to m.’ è il tasso, o più rigorosamente l’intensità istantanea annualizzata, r, implicitamente definito come quello che soddisfa l’equazione Bexp(rτ)=100 o l’equivalente B=100exp(−r τ). Esplicitando r=τ⁻¹ln(100/B). Visto che 100/B è il rendimento lordo del buono, lo spot y. to m. è allora il rapporto fra il logaritmo naturale (in base e) del rendimento del buono (rendimento logaritmico) e il suo tempo a scadenza; esso si può interpretare come il tasso istantaneo di rendimento costante, in regime di capitalizzazione esponenziale certa, che il buono acquistato a prezzo B garantisce, se supponiamo di detenerlo fino a scadenza.

In perfetta analogia si definiscono anche i forward y. to m., cioè i rendimenti a scadenza riguardanti operazioni a termine su buoni senza cedola. Supposto che al tempo corrente s, sia F(s,t,T), il prezzo forward in t di uno ZCB con scadenza T, ovvero il prezzo fissato in s e da pagare in t per acquistare un buono senza cedole che rimborsa 100 in T, il ‘forward y. to m.’ f è implicitamente definito come quel tasso che soddisfa l’equazione Fexp(f τ)=100, ovvero esplicitamente f =τ⁻¹ln(100/F). Si tratta del tasso istantaneo di rendimento costante in regime di capitalizzazione esponenziale certa che l’acquisto a termine del buono a prezzo F garantisce nell’ipotesi di detenerlo fino a scadenza. Nella pratica questo approccio si estende al caso di buoni che pagano una cedola di interesse c con una fissata periodicità, usualmente semestrale. Lo spot  y. to m. è in tal caso quello che eguaglia il prezzo corrente B del buono alla somma dei valori attuali (a quel tasso) di tutti pagamenti futuri (cedole alle varie scadenze t_h previste più principale o mantello a scadenza) cioè, indicando con τ_h=t_h−t, il tempo a scadenza di ogni cedola, il tasso istantaneo che verifica B=Σ_hc_hexp(−rτ_h)+100exp(−rτ); a differenza degli ZCB non esiste una formula chiusa per ricavare r. L’interpretazione economica è sempre la stessa. Inoltre si preferisce fornire agli investitori un’informazione più ‘amichevole’, cioè il tasso annuo effettivo i di rendimento, ottenuto convertendo quello istantaneo annualizzato r mediante la formula i=exp(r)−1 (exp(f)−1 nel caso di contratti a termine); in caso di cedole semestrali si considera anche la proxy i/2 del tasso semestrale, ottenuto dividendo semplicemente per due il tasso annuo i. Per es., sia B(0,1/2)=98,7, il prezzo di uno ZCB a 6 mesi; lo spot y. to m. istantaneo risulta r=ln(100/98,7)/(1/2)=2,617%, da cui quello annuo i=exp(0,02617)−1=2,652%, e quello semestrale i/2=1,326%.