VORTICE

VORTICE (fr. tourbillon; sp. vórtice; ted. Wirbel; ingl. vortex)

Molti fatti di osservazione comune ci fanno assistere alla formazione di vortîci in un fluido. Così, se si fa defluire l'acqua contenuta in un recipiente cilindrico, attraverso un foro praticato nel centro del fondo, si forma un vortice verticale: i singoli filetti liquidi ruotano e si avvolgono a spirale intorno all'asse del foro. Si forma invece un vortice orizzontale ad anello, quando una colonna d'acqua si fa salire dal fondo, con una conveniente pressione, in un bacino che contenga altra acqua. Se l'acqua immessa è colorata si può seguire il processo in tutto il suo svolgimento e osservare che il liquido si muove, nella parte interna dell'anello, verso l'alto e, nella parte esterna, verso il basso. Fenomeni dello stesso tipo si possono osservare nei gas. Ad es., nell'aria perturbata da venti temporaleschi si generano mulinelli, resi manifesti dalla polvere e dai fuscelli che essi fanno roteare. Così, ancora, se si riempie con fumo di tabacco un cilindro, chiuso su una base da un pezzo di stoffa e sull'altra da un cartone con un foro centrale (di 1-2 mm. di diametro), e si dà un leggiero colpo sulla stoffa, si stacca dall'apertura opposta un anello di fumo, che via via si sposta nell'aria e si dilata; e questo fenomeno si verifica in proporzioni molto più vistose, quando si spara con un cannone caricato a polvere, ma senza proietto: gli anelli di fumo, del diametro di 1-2 m., percorrono fino a 300-400 m., con velocità di 30-40 m/sec. e con effetti notevoli sugli schermi contro cui urtano.

1. Definizioni. - Un vortice, dunque, si potrebbe definire come una massa liquida o gassosa, in cui le particelle elementari ruotano intorno a un asse che varia da punto a punto del fluido; ma non si può dire in generale che ogni moto circolatorio d'insieme delle particelle di un fluido sia necessariamente un moto vorticoso, eome esso viene definito nella meccanica dei mezzi continui. Quando si cerchi di schematizzare i caratteri di un tale moto si trova che la condizione necessaria perché in un punto P (x, y, z) del mezzo e in un dato istante t si abbia un vortice è che la massa fluida, che in quell'istante occupa una regione sufficientemente piccola intorno a P, in un istante immediatamente successivo t + dt - oltre ad aver subito uno spostamento nello spazio e un'eventuale deformazione - si trovi rotata di un angolo infinitesimo intorno a un asse passante per P. Ove si denoti con v la velocità del fluido nel punto P, la direzione dell'asse e la velocità angolare di codesta rotazione coincidono con la direzione e col modulo del vettore

cioè del vettore, che ha, rispetto agli assi di riferimento, le componenti (v. vettore, n. 9):

dove v_x, v_y, v_z: denotano le componenti della velocità v del fluido nel generico punto P. È a questo vettore w - variabile da punto a punto e da istante ad istante - che nella meccanica dei fluidi si dà il nome di vortice; e il moto di un fluido si dice vorticoso in ogni regione del campo occupato dal fluido e in ogni istante in cui risulti diverso da zero il vettore w.

In una tale regione si dicono, ad ogni istante, linee vorticali o vorticose quelle per cui la tangente è, in ogni loro punto, diretta come il vettore m in quel punto e in quell'istante; ed è manifesto che per ogni punto della regione considerata - e in ogni singolo istante - passa una linea vorticosa, ed una sola. Nelle stesse condizioni si dice superficie vorticale o vorticosa - o anche semplicemente vorticoide - ogni superficie (o parte di superficie) costituita da una semplice infinità di linee vorticose e, quindi, tale che la linea vorticosa passante per un suo generico punto appartenga per intero alla superficie; e si riconosce agevolmente che la condizione earatteristica perché una superfieie sia vorticosa è data dall'annullarsi, in ogni suo punto, della componente normale w_n del vortice w.

Fra le superficie vorticose, si dicono tubi vorticosi quelle costituite dalle linee vorticose che passano per i singoli punti di un contorno chiuso qualsiasi (che non sia esso stesso una linea vorticosa); e, più particolarmente, quando codesto contorno sia piccolissimo - sicché si possa trattare matematicamente come infinitesimo - il tubo si dice un filetto vorticoso.

2. Momento di un tubo vorticoso. - Poiché la divergenza di ogni rotore è nulla (v. vettore, n. 9), si ha:

onde poi, applicando il teorema della divergenza (v. vettore, n. 9) al tratto di un tubo vorticoso compreso fra due sue sezioni σ₁ e σ₂ quali si vogliano, si trae:

dove la normale n sulle due sezioni va intesa orientata in un medesimo senso (rispetto all'andamento del tubo). Si vede così che in un tubo vorticoso il cosiddetto flusso del vortice w attraverso una sezione generica σ, cioè:

è - nell'istante considerato - costante, cioè sempre lo stesso qualunque sia la sezione. Questa costante M si dice momento o intensità del tubo; e, nel caso di un filetto vorticoso, si riduce, in forza della piccolezza di σ, ad un elemento dell'integrale, sicché, denotando con ϕ l'angolo che la normale n alla sezione σ forma con la direzione del vortice, si ha:

e, in particolare, se si tratta di una sezione normale:

Si ha dunque che lungo un filetto vorticoso è costante il prodotto della intensità del vortice per la sezione retta.

3. Fluidi barotropi. - Le proprietà precedenti valgono per un campo di vortici in ogni singolo istante. Per indagare le proprietà che ad un tale campo competono al trascorrere del tempo, è necessario considerarne il comportamento dinamico e precisare la natura fisica del fluido di cui si tratta. Tipico - anche come norma di orientamento per casi più complessi e più aderentí alla realtà fisica - è il caso dei cosiddetti fluidi perfetti o ideali, in cui gli sforzi interni si riducono a pressioni normali (v. idrodinamica, n. 2). Ove, in più, si supponga che la forza (unitaria) di massa derivi da un potenziale U, vale per i fluidi perfetti la cosiddetta equazione fondamentale dell'idrodinamica pura:

dove con a si denota l'accelerazione della particella fluida che, nel generico istante, passa per un qualsiasi punto del campo occupato dal fluido in moto e con ρ e p rispettivamente i valori locali della densità e della pressione unitaria.

Più precisamente ancora, si supponga che per il fluido considerato la densità ρ sia funzione della sola pressione p, il che fisicamente corrisponde al caso di un fluido in cui le trasformazioni avvengano adiabaticamente, e che, in quanto le superficie di egual pressione (isobare) e quelle di eguale densità (isostere) coincidono, si dice barotropo. Per un tale fluido, ove si ponga:

all'equazione (3) si può dare la forma:

Ciò premesso, se, a un dato istante, si considera nel fluido in moto una qualsiasi linea chiusa l, concepita come materiale, cioè come costituita da particelle del fluido, in generale accade che questa linea materiale, col trascorrere del tempo, migra nel campo occupato dal fluido e si deforma. Ma, con una deduzione che qui non è il caso di sviluppare, si dimostra, in base alla (4), che la cosiddetta circuitazione (o circolazione) relativa a codesta linea materiale, cioè:

si mantiene costante nel tempo (teorema dell'invariabilità della circuitazione).

D'altra parte, se, denotando con σ un qualsiasi diaframma avente per contorno l, si applica al vettore v/2 e al suo rotore w la formula dello Stokes (v. vettore, n. 16), si trova:

e da questa identità e dalla proprietà caratteristica w_n = 0 delle superficie vorticose si deduce che, se la linea l appartiene a una superficie vorticosa e, più precisamente, è riducibile a un punto per deformazione continua senza uscire dalla superficie, così da costituire, da sola, il contorno completo di una parte della superficie vorticosa, si ha senz'altro:

cioè lungo ogni linea di un vorticoide, la quale costituisca su di esso un contorno completo, la circuitazione è nulla. E, poiché questo risultato è invertibile, si conclude che la condizione caratteristica w_n, = 0 delle superficie vorticose equivale a quest'altra: circuitazione nulla per tutte le linee della superficie, costituenti su di essa un contorno completo.

Di qui consegue che i tubi vorticosi, al pari dei filetti (e, al limite, anche le singole linee vorticose), pensati come costituiti sempre dalle stesse particelle di fluido, migrano con la massa fluida e generalmente si deformano, ma conservano sempre il loro carattere di tubo o filetto (o linea) vorticosi; e questo risultato s'interpreta fisicamente come indistruttibilità dei vortici per effetto del moto (teorema di H. v. Helmholtz).

Questo teorema si può ulteriormente precisare. L'intensità di un tubo

ove si denoti con l la linea materiale, che costituisce il contorno della sezione σ del tubo, si può scrivere, in forza della (5):

sicché risulta che, al pari della circuitazione, anche l'intensità M del tubo si mantiene costante nel tempo, qualunque sia il moto (del fluido perfetto). In particolare, per ogni filetto vorticoso, si mantiene costante il prodotto di una sezione normale per l'intensità del vortice lungo tutto il filetto e in ogni istante, comunque si sposti e si deformi il filetto nel moto del fluido. Ora, dalla costanza del prodotto ow discende che lungo un filetto il vortice non può mai annullarsi; e poiché, d'altro canto, per ogni punto in cui w sia diverso da zero, passa una sola linea vorticosa, si riconosce che le linee costituenti il filetto non possono mai saldarsi, bensì debbono mantenersi sempre distinte. Se e conclude che un filetto vorticoso non può ehe rinchiudersi in sé stesso o terminare alla superficie del fluido.

4. Il teorema del Helmholtz, che permette di figurarsi un vortice come un'entità indistruttibile, colpì l'immaginazione dei fisici che videro in questa forma di movimento la spiegazione delle proprietà della materia. E se a una tale veduta si era condotti naturalmente dalla tendenza generale, riconoscibile nella teoria del campo di Maxwell e di Faraday, di vedere nelle proprietà elettriche una manifestazione delle azioni interne di un ipotetico fluido, l'etere, già i filosofi greci (Empedocle, Anassagora, Leucippo) vedevano nel vortice la forma fondamentale del movimento. E queste idee riapparvero nella teoria cosmologica di Descartes, che pensava i pianeti mossi da un vortice. Comunque, dopo che il Helmholtz nel 1857 ebbe enunciato íl suo teorema, W. Thomson formulò la sua teoria degli atomi-vortici. Gli atomi dei varî elementi si sarebbero distinti secondo le proprietà meccaniche inerenti allo speciale tipo di vortice, in cui sarebbero consistiti. Interessante per il fisico moderno la spiegazione che così W. Thomson dà delle righe caratteristiche emesse da un atomo, come vibrazioni proprie del vortice. Salta agli occhi l'analogia di questa idea con l'interpretazione di E. Schrödinger dei fatti quantistici.

5. Contro il teorema del Helmholtz che nega la possibilità che in un fluido ideale (come si può considerare per molti rispetti l'acqua) possano formarsi o distruggersi dei vortici, sta la nostra quotidiana esperienza. Ma questa contraddizione si può risolvere (oltre che con l'osservazione ovvia che quando ci sembra si sia formato un vortice in un punto del campo occupato dal fluido, ciò può esser dovuto al fatto che una parte del liquido, in cui i vortici mancano, ha ceduto il posto a un'altra animata da moto vorticoso) facendo notare che nella dimostrazione del teorema del Helmholtz è essenziale l'ipotesi che la velocità sia continua. Ora, come ha mostrato J. Hadamard, le eventuali superficie di discontinuità fisse o anche mobili, costituiscono per sé stesse sedi di vortici.

Inoltre F. Klein ha mostrato che se confluiscono insieme più correnti in modo che avvenga un rimescolamento tra gli strati liquidi e una particella dall'interno arrivi alla superficie, si possono formare vortici.

Tutti questi processi però (come l'altro della formazione di vortici nella zona dietro a un solido che si sposta in un liquido), considerati dal punto di vista fisico, sono essenzialmente da attribuirsi a un effetto indiretto della viscosità, seppure infinitesima, dei fluidi naturali, la quale si manifesta prevalentemente in presenza di pareti rigide.

6. Fluidi baroclini. - L'atmosfera, l'acqua del mare non si possono trattare semplicemente come fluidi barotropi. Invero, oltre al fatto che non sono omogenei (e quindi, in generale, lo scambio di posto tra due particelle adiacenti può provocare una variazione locale di densità) c'è l'altro fatto che l'irradiazione solare non è la stessa su tutti i punti della Terra; e conseguentemente la densità dell'atmosfera dipende dalla temperatura e dalla pressione, oltre che da altri parametri (contenuto per cm.³ di vapor d'acqua, di ossigeno, ecc.). Se si esclude, quindi, il caso dell'equilibrio statico in un fluido a cui si attribuiscono le proprietà generali esposte, accadrà che ai punti dello spazio su una superficie isobara non corrisponderà necessariamente uno stesso valore per la densità: il fluido è baroclino.

Poiché si tratta pur sempre di un fluido perfetto, seguita a valere l'equazione fondamentale (3), dalla quale, uguagliando i rotori dei due membri, e tenendo conto che:

si deduce la

che, con semplici passaggi formali, si può scrivere:

dove, denotando con i, j, k, i versori della terna trirettangola di riferimento, si è posto:

e basta, infine, tener conto della cosiddetta equazione di continuità (v. idrodinamica, n: 3) per giungere all'equazione:

la quale fornisce la legge differenziale del processo più generale di formazione di vortici in un fluido perfetto.

Nel caso della barotropia, risulta identicamente nullo l'ultimo termine del secondo membro; e, in linea storica, va rilevato che, in tale ipotesi, è appunto dall'equazione (7) che il Helmholtz dedusse il suo celebre teorema.

Nel caso dei fluidi baroclini la stessa (7) mette in luce il fatto che, in ciascun punto P del fluido, alla rotazione eventualmente esistente si sovrappone, in ogni intervallo di tempo Δt, una rotazione corrispondente alla velocità angolare

dove ϑ denota l'angolo tra i due piani tangenti in P, rispettivamente all'isobara e all'isostera: l'asse della rotazione è la retta intersezione di questi due piani. Così se abbiamo, in una certa regione, dell'aria calda e tutto all'intorno aria fredda, le isostere si inclineranno verso il centro (perché cresce il volume specifico) e si produrranno dei moti rotatorî in piani verticali: l'effetto complessivo sarà che l'aria calda si innalza. In generale, quando in un fluido si sposta una massa, anche dello stesso fluido, ma con proprietà fisiche diverse, le divergenze dalla barotropia saranno notevoli specialmente alla frontiera della massa in movimento e lì specialmente, come già si è accennato, possono formarsi dei moti vorticosi.

Dalla (7) si può dedurre la legge integrale della formazione dei vortici, calcolando la variazione istantanea della circuitazione c lungo una linea fluida l. Così, per es., se si tien conto della rotazione della Terra e si sceglie la linea l in modo che risulti costituita da due archi di isobare (alle quali corrispondano rispettivamente per la pressione i valori p_a e p_b), congiunti da due tratti infinitesimi, su cui la densità media sia, rispettivamente, ρ_ae ρ_b, si deduce dalla (7) l'equazione molto utile in meteorologia

dove Ω è la velocità angolare della Terra e Σ è l'area limitata, sul piano dell'equatore, dalla proiezione della curva l. Questi vortici, quando sono formati, seguono, come nel caso della barotropia, il fluido nel suo moto e, a mano a mano che crescono in intensità, acquistano sempre più un'individualità cinematica e dinamica, quale è quella stabilita dal teorema del Helmholtz.

7. Liquidi viscosi. - Dalle equazioni del moto d'un liquido viscoso (v. idrodinamica, n. 14) e procedendo come al n. prec., si arriva, nell'ipotesi che ρ sia funzione della sola p, all'equazione del moto di un vortice per un liquido viscoso:

dove ε denota il cosiddetto coefficiente di viscosità. La rotazione elementare non rimane quindi fissata alla materia, ma in ogni istante, dal punto dove si trova la particella che ruota, il vettore w si propaga nel fluido con la stessa legge della propagazione del calore per conduzione. Però se in un certo istante è w = 0 in tutta la regione occupata dal fluido (il moto è irrotazionale), allora risulta dappertutto Δw = o e quindi w = 0 in tutti i tempi (il moto rimane irrotazionale). In un fluido dunque non possono formarsi vortici per effetto della viscosità interna. Questi si formano invece, eome già si è accennato, per l'azione viscosa delle pareti del recipiente, in cui il fluido scorre, o per effetto di un solido, che si sposta nel fluido stesso. Difatti le molecole del fluido, per così dire, aderiscono e formano sulle pareti uno strato sottile, in cui varia rapidamente la componente tangenziale della velocità. Ora se su una superficie si ha una discontinuità δv_t per la componente tangenziale della velocità, si ha su di essa: rot v = n ≿ δv. Si formano così vortici superficiali. Come questi vortici si distacchino dalla superficie del solido e diano luogo ai fenomeni della scia è una questione che qui non è il caso di toccare. Basterà accennare che, se un vortice cilindrico di raggio R e velocità periferica v si trova a contatto di una parete, la forza d'attrazione che risente il vortice è per unità di lunghezza del cilindro, π • ρ • R • v² e questa è la causa della resistenza che incontra il corpo all'avanzamento nel fluido.

Bibl.: H. v. Helmholtz, Wirbelbewegung, in Wiss. Abhand., I, Lipsia 1882; W. Thomson (Lord Kelvin), On vortex-atom, in Math. and Phys. Papers, Londra 1893; H. Poincaré, Théorie des tourbillons, Parigi 1893; C. W. Oseen, Hydrodynamik, Lipsia 1927; H. Villat, Lecons sur la théorie des tourbillons, Parigi 1930; F. Auerbach, Wirbelbewegung, in Hand. der Physik u. Techn., Lipsia 1931; V. Bjerknes ecc., Physikalische Hydrodynamik, Berlino 1933 (trad. franc., Parigi 1934).