VITA media e probabile

VITA media e probabile

Supponendo di poter osservare, fino alla sua completa estinzione per morte, un contingente di l_x individui sopravviventi all'età precisa di x anni (espressa generalmente, questa età, da un numero intero di anni) si dice per tale contingente: a) vita media relativa all'età x (complete expectation of life, e_x⁰ secondo gl'Inglesi) l'ulteriore durata di vita che spetterebbe a ciascuno di quegli l_x sopravviventi, se la somma delle durate da essi vissute oltre l'età x venisse fra tutti gli stessi ugualmente ripartita; b) vita probabile, π_x, relativa all'età x, il tempo che dovrà trascorrere affinché il contingente osservato si riduca numericamente alla metà per effetto di morte.

Ammettendo che i morti in età da x + y x + y + 1 anni interi (y = 0, 1, 2, ...) si siano distribuiti uniformemente in tale intervallo di età, e vi abbiano quindi in media vissuto per mezzo anno, la durata complessiva della vita vissuta dagli l_x sopravviventi all'età sarà

e quindi la vita media di quei sopravviventi avrà come espressione

dove w denota l'età estrema del contingente considerato, cioè l'età per cui l_w+1 = 0.

Nelle stesse ipotesi, se esisterà una età intera y (y > x) per la quale sia l_y = 1/2 l_x, la vita probabile all'età x sarà evidentemente π_x = y − x; ma, supposto di avere, in qualche modo, costruito la successione l_x, l_x+1, l_x+2,..., non vi si potrà, in generale, trovare l_y =1/2 l_x, bensì esisteranno due termini consecutivi l_t, l_t+1 tali che sia l_t > 1/2 l_x > l_t+1. L ammessa uniformità delle morti nell'intervallo di età da x + y a x + y + 1 anni (ciò che è praticamente vero dall'età di 3 anni in poi) equivale ad ammettere che l_x si possa considerare nell'intervallo da t a t + 1 come una funzione lineare della variabile continua x, cosicché una semplice proporzione fornirà un valore y (non intero) tale da verificare l'uguaglianza l_y = 1/2 l_x ed y − x anche in questo caso, si dirà vita probabile π_x all'età x. La denominazione di "probabile" risulta da ciò, che un individuo del solito contingente considerato ha uguale probabilità di non superare e di superare l'età y.

In quanto ai valori l_x, l_x+1, l_x+2, ..., che, eome si è visto, consentono di calcolare tanto e_x⁰ quanto π_x, essi potranno determinarsi o in base all'osservazione, fino a estinzione, di un certo contingente di nati, come si fa per il calcolo di una tavola di mortalità di prima specie o per generazione (v. morte: Statistica della mortalità); oppure, più accessibilmente e rapidamente, assumendo l'ordine di estinzione di una generazione fittizia di nati la quale si supponga colpita nei successivi anni di età da una mortalità pari a quella che effettivamente si può osservare in una data popolazione, entro un determinato intervallo di tempo, così come si ammette per costruire una tavola di mortalità di seconda specie o per contemporanei.

Quando la vita media e_x⁰ si calcola, come è d'uso, in relazione agli l_x di una tavola di mortalità per contemporanei, non bisogna credere ehe la vita media all'età zero, cioè e₀⁰ coincida con l'età media dei morti osservati nell'intervallo di tempo che servì alla costruzione della tavola di mortalità. Difatti la vita media all'età zero, e l'età media dei morti in un certo intervallo di tempo (nella solita ipotesi che i morti in età da 0 a1, da 1 a 2, da 2 a 3,... fossero rispettivamente vissuti 1/2, 3/2, 5/2 anni, ecc.) hanno come espressioni:

cioè sono costituite da due medie aritmetiche ponderate degli stessi valori 1/2, 3/2, 5/2, ecc., ma con sistemi di ponderazione diversi: gli m₀,₁, m₁,₂, m₂,₃, ... denotano, invero, i numeri di persone effettivamente morte durante l'intervallo di osservazione nelle età da 0 a 1, da 1 a 2, da 2 a 3 anni, ecc.; laddove l₀ − l₁, l₁ − l₂, l₂ − l₃, ..., denotano quanti, del contingente iniziale di l₀ nati considerati nella tavola di mortalità, morrebbero in quelle stesse età.

La vita media e_x⁰ va generalmente decrescendo al crescere delle età, meno che per quelle più basse. E invero, se i primissimi quozienti di mortalità q₀, q₁, q₂ fossero dello stesso ordine di grandezza di quelli successivi, il massimo della vita media corrisponderebbe all'età zero. Ma poiché essi, e segnatamente q₀ e spesso anche q₁, hanno valori di gran lunga superiori ai seguenti, ne viene che la vita media a zero anni, nel calcolo della quale entra un numero molto grande di individui che non sopravvivono a un anno, non raggiunge mai il massimo valore, ma questo massimo si trova all'età di 1 o di 2 anni, e, per alcuni paesi con altissima mortalità infantile, anche oltre. La vita probabile π_y decresce, essa pure, al crescere dell'età, con la stessa eccezione segnalata per la vita media nelle prime età.

Circa il mutuo andamento della vita media e della vita probabile si può notare che, in generale, fin verso i 60 anni, la vita probabile supera la vita media; ma che successivamente ne è superata, per la ragione che, oltre una certa età, divengono relativamente sempre più rari quelli che morranno in età lontana da quella e più numerosi quelli che morranno in età prossima, il che tende appunto a far crescere la mediana (vita probabile) meno rapidamente della media aritmetica (vita media).

È pure da notare che, di regola, a qualunque età, la vita media e la vita probabile delle femmine superano quelle corrispondenti dei maschi.

Rappresentando in un sistema cartesiano sull'asse delle ascisse le età e parallelamente all'asse delle ordinate i corrispondenti valori della vita media ulteriore, quali risultano da una tavola di mortalità relativa a una vasta popolazione (sia per il complesso, sia separatamente per i maschi e per le femmine) si trova (C. Gini) che gli estremi delle ordinate si dispongono, con grande approssimazione, sopra una linea retta nell'intervallo fra le età di 10 e di 60 anni circa, e questo significa che, in tale intervallo, la durata della vita media ulteriore è funzione lineare dell'età. Ne segue (v. media) che la durata media della vita media ulteriore di un gruppo di persone (di una stessa popolazione) in età compresa fra 10 e 60 anni è, approssimativamente, uguale alla vita media che compete alla media aritmetica delle età di quelle persone. Anche la vita probabile ha nello stesso intervallo fra 10 e 60 anni di età un andamento che lievemente si discosta da quello lineare, ma l'approssimazione è meno soddisfacente che per la vita media.

Per l'Italia, consultando le tavole di mortalità costruite dall'Istituto centrale di statistica per la popolazione del regno, in base all'osservazione delle morti nel biennio 1921-22 e nel triennio 1930-32, si trovano (popolazione complessiva) i seguenti valori, dai quali risultano confermate le osservazioni fatte antecedentemente:

L'accrescimento che nella durata della vita media e in quella della vita probabile si osserva in tutte le età, senza eccezione, passando dal periodo 1921-22 al 1930-32, significa, palesemente, un notevole miglioramento nelle condizioni della mortalità, come riflesso di un migliorato tenore di vita e dei progressi conseguiti nelle condizioni sanitarie della popolazione. L'accrescimento assoluto della vita media e della probabile è specialmente accentuato per le età più basse, e ciò è dovuto alla diminuzione della mortalità infantile, comparativamente più notevole che per i successivi periodi della vita.

Per il 1930-32 la mortalità differenziale dei due sessi (maggiore, di regola, quella dei maschi) è espressa, attraverso la vita media e la vita probabile corrispondenti ad alcune età, dalle seguenti cifre:

Un confronto con altri paesi (e non del tutto rigoroso, per i diversi metodi di costruzione delle tavole) non si potrebbe, per ora, eseguire se non per epoche prossime al 1921-22, dato che pochi stati hanno finora pubblicato tavole di mortalità relative a un periodo di osservazione coincidente, o quasi, col 1930-32; quando tutti i dati relativi a questo periodo saranno noti, la posizione dell'Italia rispetto agli altri paesi risulterà probabilmente assai migliorata, in relazione a quella che era nel 1921-22, dato che la diminuzione di mortalità dal 1921-22 al 1930-32 è da noi stata molto notevole.

Bibl.: Oltre quella citata sotto morte: Statistica della mortalità, v.: C. Gini, Sull'utilità delle rappresentazioni grafiche, in Giorn. degli economisti, 1914; Istituto centrale di statistica del Regno d'Italia, Tavole di mortalità della popolazione italiana, 1931-32, nella Relazione generale sul settimo censimento generale della popolazione, 21 aprile, 1931, IV, i, cap. 12°, Roma 1935.