vettoriale

vettoriale

vettoriale [agg. Der. di vettore "inerente a vettori"] [ANM] Analisi, o calcolo, v.: la parte della matematica che s'occupa degli algoritmi con i quali si opera sui vettori (a questi si applicano, con opportuni adattamenti, tutti i concetti dell'analisi infinitesimale, quali quelli di continuità, limite, derivata, integrale, ecc.). ◆ [EMG] [MCC] Campo v.: un campo la cui grandezza ha carattere vettoriale: v. campi, teoria classica dei: I 470 d. ◆ [ALG] Fibrato v.: v. fibrati: II 570 a, 571 c. ◆ [ANM] Funzione v.: è un vettore suscettibile di svariate determinazioni in relazione ai valori assunti dalla o dalle variabili da cui dipende; un caso frequente è quello della dipendenza da un'unica variabile, data dal tempo, come, per es., sono in genere funzioni v. del tempo la velocità e l'accelerazione di un punto in moto. ◆ [LSF] Grandezza v.: quella rappresentata da un vettore, cioè caratterizzata, oltre che dalla misura, anche da un orientamento (direzione e verso), qual è, per es., la forza, la velocità, l'accelerazione, ecc. ◆ [ALG] Identità del calcolo v.: relazioni fra gli operatori v. (divergenza, gradiente, rotore, nabla), interessanti sia dal lato teorico, sia per le loro applicazioni. Denotando con f, g funzioni scalari e con v, w funzioni v., le più comuni di tali identità sono espresse dalla tabella. ◆ [FSN] Mesone v.: → mesone. ◆ [LSF] Proprietà v.: ogni proprietà che si presenti con caratteristiche dipendenti dalla direzione che si considera in un dato sistema materiale, quale, per es., nei materiali anisotropi (tipic. quelli cristallini) sono in genere le proprietà di propagazione del calore e di radiazioni dei vari tipi, a partire dal suono e dalla luce. ◆ [ALG] Spazio v.: con rifer. a un campo K (reale, complesso o anche più generale), un insieme V di elementi, detti vettori, si dice spazio v. su K se: (a) tra gli elementi di V è definita una somma rispetto alla quale V è un "modulo", la somma è cioè associativa e commutativa, esiste l'elemento neutro 0 (vettore nullo) ed esiste l'opposto -v di un elemento qualunque v; (b) inoltre è definito il prodotto di un elemento k di K per un vettore v di V, il risultato essendo un vettore kv di V, in modo che siano rispettate certe regole di calcolo del tipo: 1✄v=v; k₁(k₂v)=(k₁k₂)v; (k₁+k₂)v=k₁v+k₂v; k(v₁+v₂)=kv₁+kv₂. Se K non è un campo (commutativo) ma un corpo (non necessariamente commutativo) è possibile definire in modo analogo uno spazio v. destro e uno spazio v. sinistro. Ecco alcuni esempi di spazi v.: i vettori liberi della meccanica razionale formano uno spazio v. rispetto al corpo reale R; i numeri complessi a+ib formano anch'essi uno spazio v. reale; analogamente le n-ple ordinate (xl, ..., xn) di numeri reali, se si definiscono in modo naturale la somma (xl, ..., xn)+(yl, ..., yn)=(xl+yl, ..., xn+yn) e il prodotto per un numero reale r come r(xl, ..., xn)= (rxl, ..., rxn) (quest'ultimo spazio v. si indica con Rn); le funzioni reali di variabile reale definite nell'intervallo (0,1), ecc. Come conseguenza della definizione, è possibile parlare in uno spazio v., di combinazione lineare di più elementi klvl+ ...+krvr nonché, di dipendenza e indipendenza lineare (vl, ..., vr sono indipendenti se klvl+...+ krvr=0 solo quando kl=...=kr=0). Sottospazio V' di V è l'insieme degli elementi di V ottenuto partendo da un sottoinsieme M⊂V e formando tutte le combinazioni lineari a coefficienti in K di elementi di M. Un sottoinsieme B⊂V si dice che costituisce una base per V quando ogni vettore v è esprimibile in modo unico come combinazione lineare di elementi di B. Se la base B è un insieme finito n si dice che V ha dimensione n, altrimenti V ha dimensione infinita. Per es., ha dimensione n lo spazio v. delle n-ple (xl, ..., xn), una base essendo formata dagli n vettori indipendenti: (1, 0, ... 0), (0, 1, ... 0), ..., (0, 0, ... 1). Sia V uno spazio v. su K; si verifica che le forme lineari definite in V, e a valori in K, cioè le funzioni f:V→K tali che f(klvl+k₂v₂)=klf(vl)+ k₂f(v₂), formano a loro volta uno spazio v. V∗, detto lo spazio duale di V; se V ha dimensione finita n anche V∗ ha la stessa dimensione n. Uno spazio v. può essere dotato di strutture o proprietà addizionali che ne particolarizzano la collocazione tra tutti gli spazi vettoriali. Una proprietà addizionale che s'incontra frequentemente è l'esistenza del prodotto interno (o prodotto scalare). Si tratta di una funzione V╳V→K definita per le coppie di elementi di V e a valori in K, che si indica con (v₁, v₂), e gode delle seguenti proprietà: (v₁, v₂)=(v₂, v₁); (k₁v₁+ k₂v₂,v₃)=k₁(v₁, v₃)+ k₂(v₂, v₃). Uno spazio v. dotato di prodotto interno si chiama anche uno spazio v. euclideo; se inoltre vale la proprietà (v, v)>0 se e solo se v≠0 lo si chiama propriamente euclideo. In uno spazio propriamente euclideo si può definire la norma di un vettore v come ||v||=(v, v)1/2 (uno spazio v. propriamente euclideo è uno spazio normato); ha senso considerare la disuguaglianza di Schwarz: |(v₁, v₂)|≤||v₁||||v₂||; è inoltre possibile definire l'angolo ϑ di due vettori v₁, v₂ mediante la formula cosϑ=(v₁, v₂)/(||v₁|| ||v₂||). È possibile parlare di vettori v₁, v₂ ortogonali quando (v₁, v₂)=0, di base ortonormale, ecc. ◆ [ALG] Spazio v. di omologia: v. forme differenziali: II 687 f. ◆ [ALG] Spazio v. euclideo: uno spazio v. in cui, oltre alla somma dei vettori e al prodotto dei vettori per gli elementi del campo con il quale è costruito lo spazio v., sia definito anche un prodotto scalare che associa a ogni coppia di vettori un elemento del campo. ◆ [ALG] Spazio v. tangente: v. varietà differenziabili infinito-dimensionali: VI 493 f. ◆ [ALG] Spazio v. topologico: v. varietà differenziabili infinito-dimensionali: VI 492 c.