vettore

vettore

vettóre [agg. m. e s.m. (per il f. → vettrice) Der. del lat. vector -oris "conducente, portatore", dal part. pass. vectus di vehere "condurre, portare"] [ALG] Ente che permette di descrivere le grandezze che sono caratterizzate, oltre che da un'intensità, cioè da un valore, anche da un orientamento, cioè da una direzione, e da un verso, oltre che da opportune leggi di trasformazione per cambiamento di coordinate (grandezze vettoriali, quali le forze, le velocità, le accelerazioni, in contrapp. alle grandezze scalari che, come la temperatura, sono individuate dal solo valore numerico); per es., rappresentando una forza con un v. si specifica non solo la sua intensità (che corrisponde alla lunghezza del vettore), ma anche la direzione e il verso secondo cui la forza stessa agisce. Si definiscono i v. applicati come segmenti orientati, cioè segmenti nei quali si distingue fra primo e secondo estremo (se A e B sono, nell'ordine, i due estremi, il vettore viene in genere indicato con la scrittura AB o AB→, oppure con una lettera minuscola grassetta, v, mentre con |AB| o con v si indica la lunghezza o modulo del vettore; il punto A si chiama punto di applicazione e si dice anche che il vettore è applicato in A); definendo la relazione di equipollenza come quella che associa due vettori se hanno in comune la lunghezza, la direzione e il verso, s'introducono i v. liberi come classi di equivalenza rispetto alla relazione di equipollenza: un v. libero è, intuitivamente, un v. del quale non si precisa il punto di applicazione; nell'insieme dei v. liberi si definiscono le operazioni di somma (o composizione), di decomposizione, di prodotto, ecc., sviluppando così l'algebra dei v. (o calcolo vettoriale). La prima operazione fondamentale è quella di composizione o somma di due v. (secondo la regola del parallelogramma). Essa gode delle proprietà commutativa e associativa, cioè v₁+v₂=v₂+v₁, (v₁+v₂)+v₃=v₁+(v₂+v₃). La composizione si può eseguire anche su un sistema di un numero qualunque di v. componenti e dà luogo al risultante del sistema; viceversa, ha spesso interesse la decomposizione di un v. in due o più v. componenti. In partic., si può attuare la decomposizione di un v. v secondo un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (x,y,z) scrivendo v=vxx₁+vyy₁+vzz₁, essendo x₁, y₁, z₁ i versori degli assi e vx, vy, vz le proiezioni di v sugli assi, dette componenti cartesiane del v.; tale decomposizione si può generalizzare a uno spazio pluridimensionale e a sistemi di riferimento non cartesiani. Nell'operazione di somma di v. l'elemento neutro è il v. nullo, che s'indica con 0 ed è rappresentato da un segmento orientato AA di lunghezza nulla; il v. opposto del v. v è invece quel v. v' tale che v+v'=0. La seconda operazione è quella di prodotto di un v. v per uno scalare r (numero reale); il risultato è il v. v' che ha il modulo v'=|r|v, la stessa direzione di v e lo stesso verso oppure l'opposto a seconda che r sia positivo o negativo. Combinando le due operazioni, a partire dai v. v₁,...,vk e dagli scalari r₁,...,rk, si può costruire il v. v=r₁v₁+...+rkvk, che si chiama combinazione lineare dei v. v₁,...,vk con i coefficienti r₁,...,rk. La constatazione che in numerosi altri insiemi matematici è possibile introdurre in modo naturale operazioni formalmente simili alle due sopra dette per i v. (così accade, per es., per certi insiemi di matrici, insiemi di funzioni, ecc.) ha condotto a uno studio sempre più astratto e generale delle proprietà algebriche dei v., e ha portato alla formulazione generale della nozione di spazio vettoriale (→ vettoriale: Spazio v.). Lo sviluppo della teoria degli spazi vettoriali introduce via via nozioni e proprietà relative ai v. che li costituiscono. Così, accanto alla nozione di combinazione lineare di più v., già data sopra, compare subito quella di v. linearmente dipendenti (o indipendenti): più v. v₁,...,vk sono linearmente dipendenti se esistono k scalari r₁,...,rk non tutti nulli, tali che risulti r₁v₁+...+rkvk=0 (una combinazione lineare di v₁,...,vk dà il v. nullo). I v. dati sono invece v. indipendenti quando non esiste alcuna combinazione lineare del tipo precedente. Per i v. geometrici la dipendenza lineare ha un signif. immediato: due v. sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli; tre v. sono dipendenti se e solo se sono complanari (cioè paralleli a uno stesso piano); ecc. Spesso lo spazio, e i suoi v., godono di particolari proprietà che ne arricchiscono la struttura. Così accade, per es., per gli spazi vettoriali in cui è definito anche il prodotto interno, o prodotto scalare, tra vettori. Nel caso dei v. geometrici, il prodotto scalare di due v. a, b è dato, in forma intrinseca, dal prodotto dei moduli dei due v. per il coseno dell'angolo ϑ fra essi compreso o, in forma cartesiana, dalla somma dei prodotti delle componenti cartesiane omonime dei due v.: a✄b=ab cosϑ=axbx+ayby+azbz. Il prodotto scalare di un v. v per il versore di una retta orientata r (ossia per il v. di lunghezza unitaria orientato come r) dà luogo alla componente vr di v secondo r; la forma intrinseca del prodotto scalare mette in evidenza che esso coincide altresì con il prodotto del modulo di uno per la componente dell'altro secondo la direzione orientata del primo. L'annullarsi del prodotto scalare di due v. non nulli caratterizza l'ortogonalità dei due vettori. Il prodotto v., o vettoriale o esterno, di due v. a, b è definito, nel caso dei v. dell'ordinario spazio a tre dimensioni, come il v. v=a╳b che ha per modulo il prodotto, ab sinϑ, dei moduli dei due v. per il seno dell'angolo ϑ fra essi compreso, direzione normale al piano individuato dai due v. applicati in uno stesso punto, verso tale che la terna a, b, v risulti levogira o anche, secondo altra convenzione, orientata come la terna costituita dai versori cl, c₂, c₃ degli assi di riferimento. Note le componenti cartesiane di a e b, le componenti cartesiane del prodotto v. sono i complementi algebrici dei versori c₁ c₂ c₃ nella matrice ( ax ay az ) , onde si ha v=(aybz- bx by bz azby)c₁+(azbx-axbz)c₂+(axby-aybx)c₃. In base alladefinizione risulta a╳b=-b╳a, sicché il prodotto v. non è commutativo, bensì alternante. L'annullarsi del prodotto vettoriale di due v. non nulli caratterizza il parallelismo dei v. medesimi. Il prodotto misto di tre v. a, b, c, è definito come il prodotto scalare di uno di essi per il prodotto v. degli altri due: per es., a✄(b╳c). Il prodotto misto si può esprimere mediante il determinante del 3° ordine costituito con le componenti cartesiane dei tre v. nell'ordine in cui essi sono stati conside- ax ay azrati; per es., è a✄(b╳c)= | bx by bz |. Per note pro- cx cy czprietà dei determinanti, un prodotto misto non si altera se si permutano circolarmente i fattori e viceversa cambia di segno, conservando inalterato il suo valore assoluto, per una sostituzione non circolare dei fattori. Il prodotto misto di tre v. non nulli misura, prescindendo dal segno, il volume del parallelepipedo che ha i tre v. come spigoli uscenti da uno stesso vertice; di conseguenza esso si annulla allora, e allora soltanto, che i tre v. risultino paralleli a uno stesso piano. Si ricordano qui di seguito alcune locuz., per altre locuz., per gli operatori vettoriali (nabla, divergenza, flusso, ecc.) si rinvia alle voci relative. ◆ [FSP] Il razzo, mono- o pluristadio, balistico o guidato, che serve per portare nello spazio un carico utile, che può essere una sonda spaziale oppure un veicolo spaziale, senza o con equipaggio; anche v. spaziale. ◆ [ALG] V. ciclico: v. relazioni di commutazione canoniche, rappresentazione delle: IV 751 d. ◆ [PRB] V. coerente o esponenziale: v. distribuzioni di probabilità infinitamente divisibili, teoria delle: II 226 f. ◆ [ALG] V. colonna: v. i cui elementi sono disposti in colonna; come una matrice costituita da una sola colonna. ◆ [ALG] V. controvariante e covariante: v. tensore: VI 122 b, d. ◆ [EMG] V. dell'irraggiamento (o di Poynting): v. elettrodinamica classica: II 287 a. ◆ [ALG] V. di curvatura: v. curve e superfici: II 77 e. ◆ [ALG] V. di curvatura geodetica: v. curve e superfici: II 81 f. ◆ [FSD] V. di diffusione: v. raggi X, diffrazione nei cristalli dei: IV 741 e. ◆ [RGR] V. di fase locale: v. Doppler, effetto relativistico: II 230 b. ◆ [ALG] V. di posizione: v. posizione. ◆ [EMG] [MCC] V. di propagazione: lo stesso che v. d'onda (v. oltre). ◆ [ALG] V. di spin: v. gruppi, rappresentazione dei: III 122 e. ◆ V. di stato: (a) [TRM] v. colonna le cui componenti sono le variabili di stato di un sistema. (b) [MCQ] v. nello spazio di Hilbert che corrisponde allo stato di un sistema. ◆ [EMG] [MCC] V. d'onda: il v. che caratterizza una propagazione per onde monocromatiche, avente la direzione e il verso secondo cui si propaga l'energia associata all'onda e per modulo la pulsazione spaziale 2π/λ, con λ lunghezza d'onda: v. onda: IV 246 d. ◆ [ALG] V. normalizzato: v. di modulo uguale all'unità, ottenuto dividendo le componenti per il suo modulo. ◆ [ALG] V. nullo: v. il cui modulo è uguale a zero (v. sopra: [ALG]). ◆ [ALG] V. ortogonali: v. varietà riemanniane: VI 500 a. ◆ [RGR] V. ortonormali: v. normalizzati e a due a due ortogonali. ◆ [ANM] V.-periodo: → periodico: Funzione periodica. ◆ [ALG] V. riga: v. i cui elementi sono disposti su una linea orizzontale, come una matrice costituita da una sola riga. ◆ [ALG] [MCC] V. tangente: v. diretto come la tangente in un punto di una curva, di una superficie o, in generale, di una varietà differenziabile. ◆ [ALG] V. tangente in un punto di una varietà differenziabile infinito-dimensionale: v. varietà differenziabili infinito-dimensionali: VI 493 f. ◆ [ALG] [RGR] V. tipo tempo, tipo spazio, tipo luce, o v. tempo, ecc.: v. varietà riemanniane: VI 499 e. ◆ [ALG] V. verticali: v. connessione: I726 e. ◆ [ALG] Algebra dei v.: la struttura introdotta nell'insieme dei v. con le varie operazioni tra essi (v. sopra: [ALG]). ◆ [MCC] Componenti di un v.: v. sopra: [ALG] e v. cinematica: I 589 f. ◆ [CHF] Mappa dei v.: v. cristalli molecolari: II 37 c. ◆ [RGR] Norma di un v.: → vettoriale: Spazio vettoriale. ◆ [EMG] Potenziale magnetico v.: v. magnetostatica nel vuoto: III 604 e. ◆ [ALG] Prodotto scalare tra v.: v. sopra: [ALG] e v. cinematica: I 589 d. ◆ [ELT] Segnale v.: lo stesso che segnale portante.