varieta topologica
varieta topologica
varietà topologica (in inglese manifold) in geometria, spazio topologico, eventualmente curvo e globalmente complicato, ma che localmente, intorno a ogni suo punto, presenta una struttura simile a quella dello spazio euclideo. Formalmente, una varietà topologica di dimensione n è uno spazio topologico M di → Hausdorff e a base numerabile (→ topologia, base di una), tale che ogni punto di M ammette un intorno aperto U omeomorfo a un aperto dello spazio euclideo Rn. Si può dire che M presenta localmente una struttura simile a quella di Rn.
Si dice carta locale intorno a un punto p di M ogni coppia (U, ψ) formata da un aperto U di M contenente p e da un omeomorfismo ψ: U → A, dove A è un aperto di Rn; se ψ(p) = (x1, ..., xn), allora x1, ..., xn sono dette le coordinate di p nella carta (U, ψ). Date due carte locali (U, ψ) e (V, φ) di M, con U ∩ V ≠∅, la funzione composta
che per costruzione è un omeomorfismo tra aperti di Rn, è detta cambiamento di coordinate dalla carta (U, ψ) alla carta (V, φ). Per definizione, M può essere ricoperta da carte locali: si ottiene così un atlante, con terminologia dedotta dalle tecniche usate in cartografia, in cui si rappresentano omeomorficamente sul piano porzioni della superficie terrestre, assimilata a una sfera. La dimensione n della varietà coincide dunque con il numero di parametri reali da cui dipende un punto della varietà stessa. Tutte le varietà topologiche di dimensione 0 sono insiemi di punti isolati; sono invece esempi di varietà topologiche di dimensione 1 le curve semplici di R2 e di R3, mentre sono esempi di varietà topologiche di dimensione 2 le superfici semplici di R3.