varieta stabile

varietà stabile

Uno dei concetti fondamentali della teoria dei sistemi dinamici e in particolare allo studio delle proprietà dell’equilibrio. Sia dato un sistema dinamico, ovvero un’equazione differenziale x∙=v(x) (x∈M) definita da un campo vettoriale su una varietà M (per es. ℝⁿ) e indichiamo con φ_t il flusso di fase corrispondente e con t il tempo. La traiettoria x(t,x₀)=φ_t(x₀) sarà allora soluzione del problema di Cauchy determinato dall’equazione data e dal dato iniziale x₀. Un punto di equilibrio p è un punto in cui v(p)=0: esso determina evidentemente una soluzione stazionaria (invariante nel tempo) dell’equazione differenziale data, ovvero φ_t(p)=p. Si dicono allora varietà stabile (del punto p) l’insieme S_p={x∈M tali che lim_t→+∞ φ_t(x)=p} e varietà instabile (del punto p) l’insieme I_p={x∈M tali che lim_t→−∞ φ_t(x)=p}. In altre parole, la varietà stabile del punto p è l’insieme dei punti che con l’avanzare del tempo si muovono verso p mentre la varietà instabile è l’insieme dei punti che sono per così dire respinti da p stesso.

→ Sistemi dinamici. Origini e sviluppo