varieta simplettiche

varietà simplettiche

Una varietà differenziabile di dimensione pari M²ⁿ dotata di una struttura simplettica (o struttura hamiltoniana), ossia di una forma bilineare (o 2-forma) antisimmetrica Φ su M²ⁿ che sia non degenere e chiusa. Più esplicitamente, per ogni x∈M²ⁿ si assume l’esistenza di una forma bilineare Φ_x:T_x(M²ⁿ)×T_x(M²ⁿ)→ℝ sullo spazio tangente T_x(M²ⁿ) a M²ⁿ nel punto x tale che Φ_x(X_x,Y_x)=−Φ_x(Y_x,X_x) per X_x,Y_x∈T_x(M²ⁿ) (antisimmetria) e Φ_x(X_x,Y_x)=0 per ogni Y_x∈T_x(M²ⁿ) implica X_x=0 (non degenerazione). Inoltre, se X,Y sono due campi vettoriali regolari arbitrari su M²ⁿ con valori X_x,Y_x∈T_x(M²ⁿ) nel punto x∈M²ⁿ, la funzione Φ_x(Y_x,X_x) è assunta regolare. Per chiusura si intende invece la relazione dΦ=0, dove d indica l’operazione di differenziazione esterna delle forme. In una varietà simplettica, dunque, tutti gli spazi tangenti T_x(M²ⁿ) (x∈M²ⁿ) possiedono una struttura di spazio simplettico con prodotto scalare antisimmetrico Φ_x(∙,∙). Una varietà dotata di una forma bilineare antisimmetrica Φ che sia solamente non degenere è detta quasi-simplettica. I più importanti esempi di varietà simplettica sono forniti dalla meccanica hamiltoniana. Più precisamente, se V è la varietà n-dimensionale delle configurazioni (posizioni generalizzate) di un sistema meccanico con n gradi di libertà, il fibrato cotangente T*(V) di V è l’unione di tutti gli spazi T*_x(V) duali (ovvero di forme lineari o 1-forme) degli spazi T_x(V) tangenti a V in x. Tale fibrato cotangente è lo spazio delle fasi del sistema, a sua volta una varietà 2n-dimensionale. Possiede inoltre una struttura simplettica naturale, a partire dalla quale è possibile dare una formulazione completamente geometrica della meccanica hamiltoniana.

→ Geometria differenziale