varieta abeliana
varietà abeliana in geometria algebrica, → gruppo algebrico la cui sottostante varietà algebrica è proiettiva e connessa; le varietà abeliane generalizzano a dimensioni superiori il concetto di → curva ellittica (che infatti è una varietà abeliana di dimensione 1). L’aggettivo «abeliano» si riferisce al fatto che il gruppo, in questo caso, è necessariamente commutativo. Le varietà abeliane possono essere definite su qualunque campo, ma storicamente le prime a essere studiate furono quelle definite sul campo C dei numeri complessi; una tale varietà abeliana coincide con un → toro complesso che può essere immerso in uno spazio proiettivo complesso. Le varietà abeliane definite su campi che siano estensioni di Q giocano anche un ruolo centrale in teoria dei numeri e in particolare nello studio delle equazioni diofantee; un importante risultato in tale settore è il teorema di Mordell-Weil (→ Mordell, teorema di) secondo cui il gruppo dei punti razionali di una varietà abeliana definita su una estensione finita del campo Q dei numeri razionali è finitamente generato.