variabile aleatoria

variabile aleatoria

Variabile che può assumere valori differenti in corrispondenza di eventi casuali diversi. Per es., la v. che prende valore 1 se lanciando una moneta si ottiene testa e 0 in caso contrario è una v. casuale nota con il nome di v. di Bernoulli (➔ Bernoulli, distribuzione di), caratterizzata dal fatto di assumere soltanto due valori numerici con probabilità p e 1−p rispettivamente (nel caso in esame si ha p=1/2).

Una v. a. può essere discreta, se ha valori che appartengono a un insieme finito o numerabile, o continua. Un esempio di v. a. continua è la v. gaussiana, che ha un ruolo centrale in statistica e nel calcolo delle probabilità, in virtù del teorema centrale del limite (➔ limite, teoremi centrali del). Ogni v. a. è definita univocamente dalla sua distribuzione di probabilità, ossia dalla legge che associa a ciascun possibile valore della v., la probabilità con cui tale valore si verifica.

Si consideri un fenomeno e si indichi con Ω l’insieme  di tutte le possibili realizzazioni del fenomeno stesso (per es., Ω = {testa, croce}, nel caso del lancio di una moneta). Tale insieme è chiamato spazio degli eventi (o spazio degli eventi elementari). Una v. a. è una funzione che associa a un evento, definito da un opportuno sottoinsieme di Ω, un valore numerico, in modo tale che a ciascun valore della v. a. corrisponda un singolo elemento di Ω (evento elementare) o un suo sottoinsieme. In maniera più precisa, si dice che una v. a. (per es., reale) X è una funzione misurabile che trasforma uno spazio di probabilità (Ω, ℱ, P′) in un nuovo spazio di probabilità (ℛ, ℬ, P_x'), dove la probabilità di un qualsiasi evento B∈ℬ è definita come P_x(B)=P(A) e A=X⁻¹(B)={ω tali che X(ω)B} (➔ probabilità).

Prendendo in esame l’esperimento costituito dal lancio di 2 dadi da 6 facce, gli eventi elementari che possono verificarsi sono 36, ossia tutte le coppie ordinate di facce numerate da 1 a 6, una per ciascun dado. La v. a. X, definita dalla somma risultante dal lancio dei 2 dadi, assume quindi i valori {2, 3,..., 12}. L’evento {X=10} corrisponde, per es., ai 3 eventi elementari: (4,6), (5,5), (6,4). Occorre sottolineare che la definizione dello spazio degli eventi elementari Ω non è univoca. Nell’esperimento in questione, si supponga che i due dadi non siano fra loro distinguibili, che siano lanciati contemporaneamente, per es., due dadi dello stesso colore. In tal caso, un giocatore non sarebbe in grado di distinguere fra le coppie (2,1) e (1,2), ma osserverebbe semplicemente che il risultato di uno dei due dadi è 1 e quello dell’altro dado è 2. Questo porterebbe a un numero di coppie osservabili pari a 21, invece di 36. Sarebbe possibile definire Ω come lo spazio costituito da queste sole 21 coppie. In tal caso, si deve però tenere conto del fatto che i 21 eventi elementari non sono più equiprobabili: tutte le coppie del tipo (1,1), (2,2),..., infatti, hanno probabilità 1/36, mentre le coppie formate da numeri diversi, hanno probabilità doppia, 1/18.