valore a rischio della coda

valore a rischio della coda

Misura di rischio (tail conditional value risk) molto utilizzata nella definizione dei requisiti patrimoniali degli intermediari finanziari bancari e assicurativi.

Definizione matematica

Sia F_X(x)=P(X≤x)=p, qui supposta per semplicità continua, la funzione di ripartizione o cumulata (➔ distribuzione di probabilità) del guadagno aleatorio X dell’intermediario in un certo arco temporale. Il suo significato è chiarito dal seguente esempio: se il tempo è una settimana e F_X(−1 milione)=0,05, vi è una probabilità del 5% che il risultato economico settimanale sia inferiore (o al meglio uguale) a −1 milione di euro, cioè che in una settimana si registri una perdita di almeno 1 milione (valori negativi del guadagno x significano perdite). Fissato il periodo di tempo cui è riferito il guadagno X, e la probabilità p a un livello usualmente molto basso (fra lo 0,1% e l’1%), il valore a rischio (value at risk o V@R(X,p)) è l’opposto dell’importo c (unico nel caso in cui la cumulata sia strettamente crescente e continua), che soddisfa la F_X(c)=P(X≤c)=p, ovvero, indicando con F_X⁻¹(p) l’inversa della cumulata, verifica la c=F_X⁻¹(p); più formalmente V@R(X,p)=−F_X⁻¹(p) (fig.). In modo perfettamente equivalente, ma sottolineando il fatto che si tratta di valutazioni di probabilità soggettive (gradi di fiducia), si usa dire che −F_X⁻¹(p) è il valore a rischio con fiducia q=1−p della distribuzione X. Se X è la variabile risultato economico di un’istituzione finanziaria in un certo arco temporale, il pV@R ne misura la massima perdita (o comunque il peggior risultato) che può verificarsi con fiducia 1−p; detto in altro modo, vi è un grado di fiducia 1−p che la perdita non superi il valore a rischio.

Applicazioni economiche

Questo indicatore è impiegato a partire dagli anni 1990 per misurare il rischio di fallimento di banche e altre istituzioni finanziarie; per facilitarne le applicazioni sono stati creati algoritmi e software per il suo calcolo (famoso quello denominato ‘Riskmetrics’ della banca d’affari J.P. Morgan). È frequente il caso in cui si ha a che fare con la distribuzione del tasso di rendimento periodale R di un portafoglio, piuttosto che del guadagno periodale X a esso associato. In tal caso, indicando con W il valore iniziale del portafoglio, il V@R si ottiene dal calcolo di −WF_R⁻¹(p), ovvero moltiplicando per W il V@R percentuale.

Il valore a rischio condizionato

Il V@R ha due difetti non trascurabili: non è una misura di rischio (➔ rischio, misure del) coerente e richiede una valutazione molto accurata (e peraltro non semplice) della coda sinistra della distribuzione. Per ovviare almeno al primo dei due, si è avanzata la proposta di sostituirlo con il TailV@R, coda V@R (o conditional V@R, V@R condizionato), formalmente definito come −E(X/X<−F_X⁻¹(p)), ovvero l’opposto del valore atteso della perdita condizionata al verificarsi di una perdita superiore al pV@R, cioè generata da un risultato nella coda sinistra (definita dalla probabilità p) della distribuzione.