TRIEDRO

TRIEDRO

. 1. Tre semirette VA, VB, VC, uscenti da un punto V, ma non giacenti in uno stesso piano, individuano tre angoli (convessi) aventi per vertice V e per lati le semirette date (fig.1). Questi tre angoli racchiudono una parte dello spazio, che si chiama triedro VABC. Il punto V si dice vertice del triedro, le semirette VA, VB, VC si chiamano spigoli o costole: gli angoli A VB, BVC, C VA, facce; e, in corrispondenza di ciascuno dei tre spigoli, i due semipiani che, uscendo da esso, contengono le due facce adiacenti, definiscono uno dei tre diedri (convessi) del triedro. Le facce e i diedri si sogliono chiamare gli elementi del triedro. Se si sega un triedro con un piano non passante per il vertice V, né parallelo ad alcuno degli spigoli, si ottiene un triangolo; e, viceversa, il triedro si può definire come la figura, che si ottiene proiettando un triangolo da un punto esterno al suo piano.

2. È notevole la corrispondenza fra triedri e triangoli sferici (v. sfera): basta associare ad ogni triedro il triangolo sferico ABC che si ottiene segandone gli spigoli e le facce con una superficie sferica di centro nel vertice V e di raggio arbitrario (fig. 2). Gli angoli del triangolo sferico coincidono con le sezioni normali dei diedri del triedro, sicché gli uni e le altre ammettono le stesse misure. Siccome poi i lati del triangolo sferico hanno le facce del triedro come corrispondenti angoli al centro della sfera, basta misurare codesti lati in gradi sessagesimali di circolo massimo e le facce in gradi sessagesimali d'angolo, perché anche ciascun lato del triangolo sferico ammetta la stessa misura della corrispondente faccia del triedro. Perciò da ogni proprietà d'uguaglianza o disuguaglianza, relativa agli elementi del triangolo sferico si deduce un'analoga proprietà per il triedro, cambiando le parole "lato" e "angolo" rispettivamente in "faccia" e "diedro".

Ora, come è noto (v. sfera), i triangoli sferici godono di talune proprietà perfettamente analoghe a quelle dei triangoli piani, mentre per altre se ne differenziano nettamente. Così anche per i triedri si avranno:

a) Proprietà corrispondenti a quelle dei triangoli piani. - Tra queste: ogni faccia è minore della somma delle altre due, e perciò maggiore della loro differenza, a faccia maggiore s'oppone diedro maggiore, a faccia uguale diedro uguale, ecc. Inoltre sussistono i tre criterî d'uguaglianza corrispondenti a quelli dei triangoli piani: cioè dall'uguaglianza di due facce e del diedro compreso, oppure di due diedri e della faccia comune, oppure delle tre facce si può dedurre che tutti e sei gli elementi di due triedri sono rispettivamente uguali.

Ma per i triedri vale anche un altro criterio d'uguaglianza, come si vedrà tra un momento.

b) Proprietà che si staccano da quelle dei triangoli piani, corrispondendo solo a quelle dei triangoli sferici. Tra queste: la somma delle tre facce di un triedro è minore di quattro retti; la somma dei tre diedri di un triedro è compresa tra due e sei retti; ciascun diedro, aumentato di due retti, supera la somma degli altri due, ecc. Non esiste per i triedri una similitudine distinta dall'uguaglianza; si ha così pure un quarto criterio d'uguaglianza, il quale afferma che due triedri aventi tutti i diedri rispettivamente uguali hanno ordinatamente uguali anche le facce. In altre parole, mentre per i triangoli piani i lati e gli angoli non si presentano in modo del tutto simmetrico, ciò avviene per i triedri (come per i triangoli sferici). Questo in base a un principio di dualità, che fa corrispondere ad ogni triedro il cosiddetto triedro polare, che si ottiene proiettando dal centro della sfera il triangolo polare del triangolo sferico corrispondente al triedro di partenza e che si definisce direttamente nei termini che seguono. Dato un triedro VABC, si conducano per V le semirette VA′, VB′, VC′ rispettivamente perpendicolari ai piani delle facce BVC, CVA, AVB e giacenti, rispetto a tali piani, dalla stessa parte dei terzi spigoli VA, VB, VC (fig. 3). Il nuovo triedro VA′ B′ C′ così ottenuto si dice polare o supplementare di VABC. Se si ripete la stessa costruzione a partire dal triedro VA′ B′ C′, s'ottiene quello di partenza VABC, ossia la relazione fra i due triedri è reciproca. Se due triedri sono uguali, sono uguali anche i polari; e questa proposizione permette di dedurre due dei criterî d'uguaglianza dagli altri due.

3. Anche per i triedri, come per i triangoli sferici, l'uguaglianza dei sei elementi (facce e diedri) non implica sempre la sovrapponibilità: non sono, ad es., in generale sovrapponibili i due triedri VABC, VA′B′C′ aventi gli spigoli dell'uno sul prolungamento degli spigoli dell'altro, e aventi quindi uguali a due a due le facce e i diedri (v. fig. 4). Triedri come questi son detti simmetrici o inversamente uguali, mentre si dicono direttamente uguali due triedri sovrapponibili. Per decidere, senza ricorrere al movimento, se due triedri VABC, V′A′B′C′, aventi ordinatamente uguali gli elementi, siano uguali direttamente o inversamente, si orienti ad arbitrio il primo di essi, cioè si fissi per i rispettivi spigoli uno dei due ordini possibili di circolazione (p. es. da VA a VB, da VB a VC, da VC a VA), e poi si attribuisca all'altro triedro l'orientazione corrispondente (cioè quella definita dall'ordine di circolazione degli spigoli da V′A′ a V′B′, da V′B′ a V′C′, da V′C′ a VA′). I due triedri sono uguali direttamente o inversamente secondo che le due orientazioni sono concordi o discordi, cioè secondo che, immaginando un osservatore collocato in ciascuno dei due triedri coi piedi nel vertice e la persona lungo una semiretta interna, si ha che a entrambi gli osservatori l'ordine di circolazione dei rispettivi spigoli appare destrorso o sinistrorso, oppure all'uno appare destrorso e all'altro sinistrorso. Per il caso dei triedrî trirettangoli v. anche coordinate, n. 18.

4. Il triedro è la più semplice tra una serie di figure, dette angoloidi, o angoli solidi. L'angoloide a n facce si definisce partendo dalla considerazione di n semirette (prese in un certo ordine) VA, VB, VC... VH, VK aventi l'origine comune, e tali che ciascuno dei piani AVB, BVC..., HVK lasci dalla stessa banda tutte le altre semirette. Risultano così definiti n angoli (convessi), che racchiudono una parte dello spazio, detta angoloide (a n facce e n diedri) VABC... HK.

Le proprietà fondamentali dei triedri s'estendono facilmente agli angoloidi: cosi una faccia è minore della somma delle altre, ecc. Variano naturalmente i criterî d'uguaglianza: per stabilire che due angoloidi sono uguali basta verificare l'uguaglianza di tutti gli elementi (facce e diedri) a prescindere da due facce e dal diedro comune, oppure da due diedri e dalla faccia compresa.

5. Euclide dà due definizioni dell'angolo solido (angoloide) nel libro XI degli Elementi (def. 11). Nella prop. 23 dello stesso libro dà la costruzione del triedro di date facce, soddisfacenti alle note condizioni: nella prop. 26 costruisce un angolo solido uguale a un angolo solido dato (in particolare il triedro): inoltre nella prop. 35 dimostra che gli spigoli di due triedri aventi facce uguali sono ugualmente inclinati sopra le facce opposte. La considerazione della polarità (per i triangoli sferici) si trova dapprima in Naṣīr ad-Dīn (sec. XIII): più tardi in F. Vieta (1593) e più chiaramente in W. Snellio (1627, opera postuma). Sulle questioni riguardanti il verso delle figure solide richiamarono in modo speciale l'attenzione, tra i moderni, J. A. Segner (1741) e più tardi A.-M. Legendre e A. F. Möbius.

Bibl.: Per le proprietà dei triedi e degli angoloidi si consulti qualsiasi testo di geometria elementare. Per la parte storica, specie per le questioni riguardanti l'uguaglianza dei triedri: Gli elementi d'Euclide e la critica antica e moderna, editi da F. Enriques, IV (libri XI-XIII), Bologna 1936.