triangolo

triangolo

triangolo poligono individuato da tre punti non allineati: ha quindi tre lati e tre vertici.

Rispetto ai lati, un triangolo può essere classificato come: equilatero, se ha tre lati congruenti, cioè di uguale lunghezza; isoscele, se ha due lati congruenti (un triangolo equilatero è un particolare triangolo isoscele); scaleno, se ha i tre lati di diversa lunghezza. Un triangolo isoscele è simmetrico rispetto a un asse; un triangolo equilatero lo è rispetto a tre assi. Rispetto agli angoli, un triangolo è così classificato: acutangolo, se ha tre angoli acuti; rettangolo, se ha un angolo retto; ottusangolo, se ha un angolo ottuso. Tale classificazione è esaustiva perché nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto e pertanto un triangolo può avere al massimo un angolo ottuso. Ne segue che ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60^°.

Elementi caratteristici di un triangolo sono:

• le altezze, segmenti di perpendicolare condotti da ciascun vertice al lato opposto o al suo prolungamento. In ogni triangolo, le tre altezze si incontrano in un punto detto ortocentro che può essere esterno, interno o sul perimetro del triangolo, a seconda che esso risulti ottusangolo, acutangolo o rettangolo;

• le mediane, segmenti che congiungono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. In ogni triangolo, le tre mediane si incontrano in un punto interno al triangolo detto baricentro;

• le bisettrici, segmenti da ciascun vertice al lato opposto che dividono ciascun angolo in due angoli di uguale ampiezza. Le tre bisettrici si incontrano in un punto interno al triangolo, detto incentro, che è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo;

• gli assi, rette perpendicolari a ciascun lato per il suo punto medio. I tre assi di un triangolo si incontrano in un punto, detto circocentro, che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Il circocentro può essere esterno, interno o sul perimetro del triangolo, a seconda che esso risulti ottusangolo, acutangolo, o rettangolo.

A differenza di quanto accade per i poligoni con più di tre lati, per un qualsiasi triangolo si possono sempre tracciare la circonferenza inscritta e quella circoscritta. Si dicono inoltre circonferenze exinscritte a un triangolo le tre circonferenze tangenti esternamente a ciascuno dei lati e ai prolungamenti degli altri due. I centri delle circonferenze exinscritte sono i punti in cui ciascuna bisettrice di un angolo interno incontra le due bisettrici degli altri due angoli esterni (→ excentro). Le tre circonferenze exinscritte hanno uguale raggio se e solo se il triangolo è equilatero.

Di un triangolo si considera inoltre la circonferenza aggiunta, definita come la circonferenza tangente a un lato del triangolo in un suo vertice e passante per gli altri due vertici.

Gli elementi di un triangolo determinano suoi punti caratteristici: una loro lista è stata formulata da C. Kimberling (→ Kimberling, lista di) ed è in continuo aggiornamento; essa include, tra gli altri, il punto di → Feuerbach, il punto di → Gergonne, il punto di → Lemoine (detto anche punto di Grebe), il punto di → Nagel.

Per confrontare due triangoli si usano i criteri di → congruenza per i triangoli e i criteri di → similitudine per i triangoli. I primi stabiliscono gli elementi sufficienti per determinare se due triangoli sono congruenti, cioè sovrapponibili, i secondi stabiliscono gli elementi sufficienti per la loro similitudine, cioè per l’uguaglianza della loro forma.

In ogni triangolo il prodotto di un qualsiasi lato per la corrispondente altezza è costante e vale il doppio dell’area. L’area di un triangolo è pertanto A = bh /2, dove b, detta base del triangolo, è uno qualsiasi dei tre lati e h l’altezza relativa. L’area di un triangolo può calcolarsi anche a partire dai suoi lati a, b, c. Indicando infatti con p = (a + b + c)/2 il suo semiperimetro, si ha:

L’area di un triangolo può essere anche espressa in funzione di due lati a e b e dell’angolo γ tra essi compreso:

Si ha inoltre:

Per un qualsiasi triangolo sono validi i seguenti teoremi:

• a lato maggiore si oppone l’angolo maggiore, a lati congruenti angoli congruenti;

• un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza;

• la bisettrice divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali ai lati che lo comprendono;

• i lati sono inversamente proporzionali alle rispettive altezze.

In particolare, per i triangoli rettangoli sono fondamentali il teorema di → Pitagora e i due teoremi di → Euclide.

Un problema classico relativo ai triangoli è quello di determinare tutti i suoi elementi, noti che ne siano alcuni. Per tale problema e la sua risolubilità, utilizzando formule e metodi trigonometrici, si veda → triangolo, risoluzione di un.

In geometria proiettiva, si dice triangolo (o triangolo completo) la figura costituita da tre punti non allineati (propri o impropri) e dalle tre rette che li congiungono a due a due.