TRAVE

TRAVE (fr. poutre; sp. viga; ted. Träger o Balken; ingl. beam)

Dicesi trave un elemento delle costruzioni in cui le dimensioni trasversali siano piccole relativamente alla sua lunghezza. Si hanno travi di legno, di ferro, di acciaio, di leghe metalliche e di cemento armato (fig.1, a, b, c, d). Le travi di legno possono essere costituite da un intero fusto o da un tronco segato. Le travi metalliche si ottengono di norma dalla trafilatura a caldo dei relativi lingotti: quelle di cemento armato dal getto del calcestruzzo dentro apposite forme in cui è stata predisposta l'armatura di ferro (v. cemento armato). Le travi possono essere semplici o composte, piene o a traliccio, rette o curve, a sezione costante o variabile. Si dicono semplici se risultano da unico corpo e composte (fig. 2) se formate dall'unione di più solidi; piene se non presentano discontinuità alcuna nella loro massa e a traliccio (fig. 3) se costituite da travi semplici collegate fra di loro da barre indipendenti e distinte; a sezione costante se le dimensioni della sezione retta sono le stesse in ogni punto della trave e a sezione variabile nel caso contrario; rette se l'asse geometrico è una retta e curve se è una curva. In quest'ultimo caso però la trave prende il nome più particolare di "arco". La scienza delle costruzioni considera il caso fondamentale della trave in equilibrio sotto l'azione di un sistema di carichi paralleli normali all'asse della trave e riducibili in un piano che lo contenga, e delle reazioni dei vincoli, giacenti anch'esse in detto piano, che ne impediscono il movimento.

I vincoli principali sono l'appoggio semplice, che impedisce lo spostamento della trave nella direzione del carico, e l'incastro, che ostacola inoltre la rotazione delle sezioni estreme della trave completamente o parzialmente a seconda che sia perfetto o imperfetto. Le corrispondenti reazioni sono una forza per il semplice appoggio e una forza e un momento per l'incastro.

Sia la trave rettilinea con asse orizzontale, caricata da carichi verticali, i quali possono essere distribuiti lungo l'asse in modo che ad un tratto infinitesimo di esso ds corrisponda un carico infinitesimo dello stesso ordine dP = pds (p = dP/ds = intensità di carico; se p = cost. il carico dicesi uniformemente distribuito) ovvero concentrati, in modo cioè che in un tratto ds possa trovarsi un carico P di grandezza finita. In queste condizioni e coi vincoli predetti in ogni sezione retta della trave le forze agenti sulla trave da una banda della sezione si possono sempre ridurre a una coppia risultante di piano normale alla sezione e ad una forza giacente in detto piano. La sollecitazione che ne risulta è dunque quella composta di flessione e taglio (v. costruzioni).

La sezione dove la sollecitazione genera le massime tensioni dicesi sezione pericolosa. Salvo indicazione contraria in seguito viene inteso che la trave sia prismatica.

Trave semplicemente appoggiata agli estremi (isostatica). - Si considerino le seguenti condizioni di carico:

a) Un carico concentrato P (verticale; fig. 4).

Le reazioni d'appoggio V_A e V_B (parallele a P) si ottengono dalle equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione; risultano:

Nel tratto AC il momento flettente M e lo sforzo di taglio T sono:

e nel tratto CB:

I diagrammi che rappresentano le variazioni di M e di T col variare della sezione che si considera, sono rettilinei.

I momenti M sono tutti positivi; lo sforzo T è positivo a sinistra e negativo a destra per la convenzione fatta sui segni (v. costruzioni), per cui è positivo il momento se, considerato come generato dalle forze a sinistra, tende a far girare la sezione nel verso degl'indici dell'orologio, e positivo lo sforzo di taglio se diretto dal basso verso l'alto.

b) Un sistema di carichi concentrati (fig. 5) P₁, P₂,... P_n.

Per il principio della sovrapposizione degli effetti si ha:

pertanto il momento nel tratto fra P_{r - 1} e P_r sarà:

e lo sforzo di taglio:

da cui i diagrammi in figura 5 b, c.

c) Carico distribuito d'intensità variabile p esteso da x₁ a x₂ (fig. 6). - Si deducono le corrispondenti reazioni d'appoggio e sollecitazioni T e M dal caso precedente sostituendo i carichi P con pdx, a con x e b con l − x e le sommatorie con integrali, così:

e nella sezione di ascissa ξ:

I diagrammi sono rappresentati nella fig. 6, b, c.

d) Carico uniformemente distribuito per tutta la lunghezza della trave (fig. 7). - Servono le espressioni precedenti con p = costante, x₁ − 0 e x₂ = l, quindi:

per i relativi diagrammi vale la fig. 7, b, c.

La linea elastica e le regole di Mohr. - Sia la trave AB orizzontale (fig. 8) sottoposta ai carichi verticali P₁, P₂,... In A′ A si costruisca la punteggiata delle forze P e si tracci il poligono funicolare p₀ fra la direzione delle P con una distanza polare H. La retta che unisce i punti A′ e B′ in cui il primo e l'ultimo lato del poligono p₀ incontrano le verticali per gli appoggi, si dice retta di chiusa. La parallela dal polo O alla A′B′ determina il punto m tale che:

Il segmento y compreso fra la retta A′B′ e il poligono p₀ preso sulla verticale per la sezione S generica, rappresenta per una nota costruzione di statica grafica, il momento flettente M_x in S ridotto alla base H (M_x = Hy con y letto alla scala delle forze e H alla scala delle lunghezze).

Si osservi inoltre che il segmento di verticale η compreso fra le direzioni di due lati consecutivi di p₀ preso alla distanza 1 dal loro punto di incontro viene dato da:

Se il carico sulla trave è distribuito (fig. 9), p₀ diventa una curva che si dice curva funicolare del carico, P si tramuta in pdx e η, che diventa infinitesimo, misura l'angolo di contingenza dϕ nel punto R (x,y) in cui la verticale di pdx incontra p₀ e quindi la variazione di dy/dx per una variazione dx di x col segno negativo giacché, volgendo sempre p₀ la sua concavità verso l'asse delle x, dy/dx, diminuisce col crescere di x. Pertanto:

da cui:

che è l'equazione differenziale della curva funicolare.

La curva secondo cui si dispone l'asse deformato della trave si dice curva elastica; la sua equazione differenziale è data dalla formula:

Sia la trave AB caricata da P₁, P₂,... (fig. 10, a) ed A′C′B′A′ il diagramma dei momenti flettenti corrispondenti (fig. 10, b).

Si assuma A′C′B′A′ come diagramma di carico per la stessa trave (fig. 10, c) in A″C″B″A″ e se ne costruisca la funicolare con distanza polare EJ in A₁″C₁″B₁″A₁″; essa avrà per equazione:

che coincide con la precedente equazione della curva elastica.

Segue che: le ordinate della linea elastica sono eguali al momento flettente di una trave, il cui diagramma di carico sia eguale a 1/EJ volte quello dei corrispondenti momenti flettenti. È questa la 1^a regola di Mohr.

Se l'appoggio B della trave cede verticalmente della quantità y_B rispetto ad A le ordinate y della curva elastica vanno lette a partire da una retta A₁″B₂″ tale che B₁″B₂″ = y_B.

Se ρ è il raggio di curvatura in un punto qualsiasi della curva elastica e dϕ l'angolo di contingenza ivi, si ha:

e poiché si tratta di deformazioni piccole, è lecito sostituire alla tangente l'angolo, così se τ_b è l'angolo che la tangente alla curva in B′ forma con la direzione dell'asse non deformato e τ_a il valore corrispondente per l'estremo A′ si potrà fare:

e quindi:

in cui Ω è la superficie del diagramma delle M considerato come diagramma di carico ed s la distanza del suo baricentro dalla verticale di A (fig. 11).

Intanto:

e quindi:

donde la 2^a regola di Mohr:

Gli angoli che le tangenti alla curva elastica agli appoggi formano con l'asse delle x equivalgono alle reazioni di appoggio della trave caricata con un carico

volte il diagramma dei momenti flettenti.

Il massimo di y si indica con f e si chiama freccia elastica.

Se la trave è incastrata a un estremo e libera all'altro (fig. 12) è ancora staticamente determinata. Si trova per una trave caricata dal carico Q uniformemente distribuito e da P₁, P₂... P_n, in una sezione alla distanza x dall'estremo libero:

la Σ estesa a tutte le r forze fra B ed S.

Il massimo valore assoluto di M e di T si ha all'incastro in A dove

La trave si può anche trovare incastrata ad un estremo e appoggiata all'altro o incastrata ad ambo gli estremi. In entrambi i casi è iperstatica: semplicemente nel primo caso e duplicemente nel secondo. Le equazioni necessarie in aggiunta a quelle della statica per la determinazione delle quantità iperstatiche si possono trovare o utilizzando l'equazione differenziale della curva elastica, o applicando le equazioni di elasticità desunte dal teorema dei lavori virtuali (v. iperstatici, sistemi), o ricercando le espressioni delle deformazioni della trave ai vincoli ed uguagliandole a quelle che il vincolo permette. Seguiremo quest'ultima via.

Trave incastrata imperfettamente agli estremi (fig. 13). - Sia sottoposta a un carico Q comunque distribuito con continuità e ai carichi P₁, P₂... P_n.

Per la presenza degli incastri A e B si svilupperanno ivi i momenti M_A e M_B i quali a loro volta creano delle reazioni supplementari agli appoggi V_A′ e V_B′ eguali e di segno contrario, il cui valore si ottiene supponendo che agiscano successivamente e isolatamente M_A ed M_B e scrivendo l'equilibrio alla rotazione in A e B.

Per la presenza di M_A solamente:

e per quella di M_B solamente:

e quindi:

Se indichiamo con V_0A e V_0B le reazioni di appoggio, quando manchino M_A e M_B, cioè quelle della trave semplicemente appoggiata, per la presenza di questi momenti si dovranno aggiungere le reazioni supplementari V_A′ e V_B′ per ottenere le reazioni effettive V_A e V_B. Così:

Il momento M_x in una sezione di ascissa x sarà dato da:

come si può desumere anche dalla fig. 14, M_0x = momento corrispondente nel caso di trave semplicemente appoggiata. (In M_A e M_B il segno deve intendersi implicito).

Sia la curva elastica A′CB′ e τ_a e τ_b le rotazioni delle sezioni estreme, τ_0a e τ_0b le analoghe quantità per la trave semplicemente appoggiata. Per le note regole di Mohr sarà:

se infine B cede rispetto ad A della quantità y_b, le rotazioni finali α di A e β di B sono:

da cui:

e quindi:

Se la trave è perfettamente incastrata agli estremi non si avranno cedimenti relativi e le rotazioni α e β risulteranno nulle, quindi valgono le formule ricavate nel caso precedente facendo:

I diagrammi corrispondenti sono nella fig. 15. I punti F₁ ed F₂ in cui M_x si annulla corrispondono a punti di flesso della curva elastica giacché:

e per M = 0, ρ = ∞.

La freccia elastica si ottiene come differenza fra il valore ricavato con la considerazione del diagramma delle M_0x e quello derivato dal diagramma di M_A M_B.

Trave incastrata in A e appoggiata in B. - Si può assumere come incognita iperstatica il momento in A : M_A che si ottiene facendo nelle (4) M_B = 0 e quindi:

Se agisce Q = pl e l'incastro è perfetto:

Trave continua. - Una trave che oltre ad essere appoggiata o incastrata alle estremità sia pure sostenuta in n punti intermedî senza che su questi sia interrotta si dice trave continua. Le reazioni dei vincoli sono n + 4, se la trave è incastrata alle estremità, ed n + 2 se è semplicemente appoggiata. Pertanto il grado di iperstaticità risulta rispettivamente n + 2 ed n.

Supposto che la trave ruoti liberamente sugli appoggi intermedî, per la continuità del prisma-trave, le rotazioni delle sezioni estreme di ogni tratto compreso fra due appoggi consecutivi (campata) vengono influenzate dalla deformazione elastica delle campate adiacenti. Ogni campata si comporta quindi come una trave imperfettamente incastrata agli estremi e per la continuità la rotazione della sezione sopra un appoggio considerato come appartenente alla campata di sinistra sarà eguale e di segno contrario alla rotazione della stessa sezione considerata come appartenente alla campata di destra.

Sia la trave AB incastrata imperfettamente in A e B e appoggiata in n punti C₁, C₂, ..., C_n, il caricamento qualsiasi.

Siano, come in fig. 16, α e β le rotazioni delle sezioni estreme A e B, la rotazione dell'estremo sinistro di l₁ τ_a1 = − τ_b0 rotazione dell'estremo destro di l₀, la rotazione dell'estremo sinistro di l₂ τ_a2 = − τ_b1 rotazione dell'estremo destro di l₁, ..., la rotazione dell'estremo sinistro di l_n τ_an = − τ_{b(n - 1)} rotazione dell'estremo destro di l_{n - 1}. Siano inoltre i cedimenti, relativamente ad A, di C₁, C₂, ..., C_n, B, y₁, y₂, ..., y_n y_B rispettivamente.

In corrispondenza di ogni appoggio si avrà un momento: M_A in A, M₁ in C₁, M₂ in C₂, ecc.

Conviene scegliere come incognite iperstatiche le M che determinate permetteranno di calcolare in ogni campata momenti flettenti e sforzi di taglio.

Per le (4) si può scrivere, relativamente alla campata C₁ C₂:

da cui, per essere τ_a2 = − τ_b1, si ha:

con τ_0ai e τ_0bi si indicano le rotazioni all'estremo sinistro e al destro rispettimmente della campata C_iC_i+1 considerata semplicemente appoggiata.

L'equazione (8) si chiama equazione dei tre momenti; essa venne stabilita da Bertot e Clapeyron. Se si scrivono le analoghe per tutte le coppie di campate contigue e per le estreme isolatamente, si hanno in tutto n + 2 equazioni che permettono di determinare gli n + 2 momenti incogniti M_A, M₁, M₂, ..., M_n, M_B.

Se gli appoggi della trave non cedono e la campata l₁ è caricata da Q₁ e P₁′, P₂′, ..., P′, e quella l₂ da Q₂ e P₁″, P₂″, ..., P_r″, la equazione (5) diventa

Nella fig. 17 si sono raccolti i casi più importanti di carico e di vincolo con l'indicazione dei momenti massimi, delle reazioni d'appoggio e delle frecce.

La determinazione dei momenti sugli appoggi della trave continua può venir fatta anche a mezzo di procedimenti grafici, che si ricavano sempre dalla equazione dei tre momenti. Esistono numerose tabelle le quali permettono di calcolare i massimi e minimi sforzi di taglio e momenti flettenti in ogni campata e per varie condizioni di caricamento.

Nella determinazione delle quantità iperstatiche, nei casi precedenti non si è tenuto alcun conto della deformazione dovuta al taglio perchè trascurabile in confronto a quella provocata dalla flessione. Così nell'espressione della curva elastica manca la parte relativa al taglio.

Se la tensione τ provocata dal taglio T può intendersi uniformemente distribuita, considerando il fattore di taglio χ, che dipende unicamente dalla forma della sezione, lo scorrimento unitario γ viene espresso da:

e quindi:

Se la sezione Ω è costante:

Ne consegue che le ordinate della curva elastica dovute al solo taglio si possono ricavare, analogamente a quanto si è fatto per il momento flettente, dal diagramma dei momenti flettenti della trave, considerata come caricata dal diagramma delle forze taglianti moltiplicate per χ/ΩG.

Vale anche la seconda regola di Mohr per la ricerca delle rotazioni delle sezioni estreme.

Bibl.: V. costruzioni.