trasformazione geometrica

trasformazione geometrica

trasformazione geometrica corrispondenza biunivoca che associa a ciascun punto di un piano (o dello spazio) un punto dello stesso o di un altro piano (o spazio). In termini formali, corrispondenza biunivoca T di un insieme non vuoto S in sé, cioè applicazione invertibile T: S → S, che a ogni punto P ∈ S associa un punto P' = T(P) ∈ S. Nell’insieme T(S) delle trasformazioni geometriche di un dato spazio S si definisce un’operazione binaria, detta prodotto o composizione di trasformazioni, generalmente indicata col simbolo ∘. La trasformazione T ∘ T' è detta trasformazione composta. Rispetto all’operazione ∘, l’insieme (T(S), ∘) è un gruppo, detto gruppo delle trasformazioni di S. La trasformazione I, tale che I(P) = P, ∀P ∈ S, è detta trasformazione identica o identità. Ogni trasformazione geometrica T è una trasformazione invertibile; cioè risulta possibile associare a essa un’unica trasformazioni geometrica, T⁻¹, detta trasformazione inversa di T, tale che T ∘ T⁻¹ = T⁻¹ ∘ T = I. Una trasformazione geometrica che applicata due volte a un qualsiasi punto dà per immagine lo stesso punto è detta trasformazione involutoria: è tale, per esempio, la simmetria assiale. Una trasformazione geometrica che non modifica l’orientamento dei punti dello spazio è detta trasformazione geometrica diretta, altrimenti è detta invertente. Per esempio, una simmetria assiale nel piano è invertente poiché inverte l’ordine circolare dei vertici di un qualsiasi poligono. Le nozioni di «trasformazione inversa» e «trasformazione invertente» sono nozioni distinte, anche se talvolta, in alcuni testi, vengono confuse o sovrapposte.

Nella classificazione delle trasformazioni geometriche è importante stabilire, per ciascun tipo, gli eventuali elementi uniti, cioè quegli elementi dello spazio ambiente che, per effetto della trasformazione, mutano in sé stessi. Un elemento unito è detto elemento fisso della trasformazione geometrica se resta unito punto per punto. In particolare si dice:

• punto unito o punto fisso di una trasformazione geometrica T, ogni punto P tale che T(P) = P. Per esempio, è unito ogni punto appartenente all’asse di una simmetria assiale;

• retta unita di una trasformazione geometrica T, ogni retta r tale che T (r) = r (la trasformata della retta è la retta stessa globalmente, anche se non punto per punto). Per esempio, in una simmetria assiale del piano, una retta perpendicolare all’asse di simmetria si trasforma in sé stessa, ma i suoi punti, salvo quello appartenente all’asse stesso, non sono uniti e corrispondono a punti diversi da sé;

• retta fissa di una trasformazione geometrica, ogni retta unita composta solo di punti uniti. Per esempio, in una simmetria assiale del piano, l’asse di simmetria è una retta fissa (perché ogni suo punto corrisponde a sé stesso);

• figura unita di una trasformazione geometrica T, ogni insieme F di punti tale che globalmente T(F) = F. Le trasformazioni geometriche sono classificate e denominate in base a proprietà invarianti caratteristiche di ciascuna di esse. Così, per esempio, una trasformazione geometrica che manda rette in rette è detta trasformazione lineare o collineazione, una trasformazione geometrica che mantiene la forma di una figura è detta similitudine ecc. La nozione di gruppo di trasformazioni (→ trasformazioni, gruppo di) è alla base della classificazione delle diverse geometrie proposta da F. Klein (→ Erlangen, programma di). Secondo Klein una geometria è definita quando sono assegnati un insieme S e un gruppo G di trasformazioni su S. La geometria associata al gruppo G è detta G-geometria e studia figure e proprietà in S che non mutano rispetto a una qualsiasi trasformazione di G. Il gruppo G è detto gruppo fondamentale della G-geometria. Da questa impostazione segue che, in teoria, si possono introdurre tante geometrie, quanti sono i sottogruppi di T(S). In realtà presentano interesse solo alcuni di tali sottogruppi, tra i quali:

• P, gruppo delle → proiettività,

• A, gruppo delle → affinità,

• S, gruppo delle → similitudini,

• I, gruppo delle → isometrie,

che sono, rispettivamente, i gruppi fondamentali della geometria proiettiva, della geometria affine, della geometria simile e della geometria metrica euclidea, ognuno dei quali è poi singolarmente studiato nell’ambito della dimensione dello spazio di riferimento.

Le proprietà che risultano invarianti in ciascuna delle quattro geometrie sopra elencate sono dette, rispettivamente, proprietà proiettive, affini, simili e isometriche. La relazione di inclusione

sta a significare che ogni proprietà proiettiva è anche affine, simile e isometrica; ogni proprietà affine è anche simile e isometrica e ogni proprietà simile è anche isometrica. Viceversa, esistono proprietà affini che non sono proiettive, proprietà simili che non sono affini, proprietà isometriche che non sono simili.

Proprietà invarianti della geometria proiettiva sono, per esempio:

• l’allineamento di tre punti;

• l’appartenenza di tre rette distinte a uno stesso fascio;

• il birapporto di quattro punti allineati.

Proprietà invarianti della geometria affine, che non sono proprietà proiettive, sono, per esempio:

• l’essere il punto medio di un segmento;

• il parallelismo tra rette o piani;

• il rapporto semplice di tre punti allineati.

Proprietà invarianti della geometria simile, che non sono proprietà affini, sono, per esempio:

• i rapporti tra segmenti;

• le ampiezze degli angoli.

Proprietà invarianti della geometria metrica euclidea, che non sono proprietà simili, sono, per esempio:

• le lunghezze dei segmenti;

• le aree delle superfici.

Riguardo a una conica, si può affermare che la nozione di conica degenere o non degenere appartiene alla geometria proiettiva (si veda l’esempio di trasformazione proiettiva di una circonferenza nelle differenti intersezioni con la retta di fuga, al lemma → proiettività omologica). Invece le nozioni di ellisse, iperbole o parabola sono concetti propri della geometria affine.

Ciascuno dei precedenti quattro gruppi fondamentali di trasformazioni ha, a sua volta, dei sottogruppi che rappresentano trasformazioni con particolari proprietà. Fra questi sottogruppi notevoli ci sono per esempio il gruppo delle omotetie con lo stesso centro (→ omotetia) e il gruppo delle rotazioni con lo stesso centro (→ rotazione).

In una trattazione analitica della geometria, una trasformazione geometrica T è univocamente determinata quando sono date delle relazioni di natura analitica che, a partire dalle coordinate di un qualsiasi punto P ∈ S, permettono di determinare le coordinate del punto P' = T(P). Tali relazioni sono dette equazioni di una trasformazione geometrica.