• Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X

Legendre, trasformazione di

Enciclopedia della Matematica (2013)
  • Condividi

Legendre, trasformazione di


Legendre, trasformazione di trasformazione che associa a una data funzione una nuova funzione che ha come argomento la derivata della funzione iniziale. Si considerino una funzione ƒ(x) convessa e un numero p. Introdotta la funzione F(p, x) = px − ƒ(x), che rappresenta, a meno del segno, la distanza verticale tra il grafico di ƒ(x) e la retta per l’origine di coefficiente angolare p, si identifica per ogni valore di p il punto x(p) per il quale la F ha un massimo. La convessità di ƒ(x) assicura che, se tale punto esiste, è unico. Si definisce trasformata di Legendre della ƒ(x) la funzione g(p) = F(p, x(p)). La condizione su x(p) corrisponde alla condizione

formula

ossia p = ƒ′ (x). Se per un certo valore di p non esiste alcun valore di x che sia un massimo di F, allora quel valore di p è al di fuori del dominio della funzione trasformata g(p). Per effettuare operativamente la trasformazione, dopo aver trovato la derivata della funzione, la si inverte in modo da esprimere x come funzione di ƒ′ (x) e si sostituisce tale valore in F. Per esempio, sia ƒ(x) = x 2, allora p = 2x da cui x(p) = p/2, che sostituito nella F fornisce la funzione trasformata:

formula

La trasformata di Legendre è un’involuzione, ossia applicata due volte da l’identità. Inoltre se g(p) e ƒ(x) sono l’una la trasformata di Legendre dell’altra, sussiste la disuguaglianza ƒ(x) + g(p) ≥ xp, detta disuguaglianza di Young, dal nome del matematico inglese W.H. Young.

La trasformata di Legendre in n variabili è definita in modo del tutto analogo, sostituendo però a x e p due vettori x = (x1, x2, …, xn) e p = (p1, p2, …, pn). La funzione trasformata è g(p) = maxx[(x, p) − ƒ(x)], dove (x, p) indica il loro prodotto scalare e

formula

Una funzione di n variabili può anche essere trasformata parzialmente limitando l’operazione sopra descritta a un sottoinsieme di m variabili e ottenendo una funzione trasformata il cui argomento è il vettore di componenti (p1, p2, …, pm, xm+1, …, xn).

In meccanica analitica, la trasformata di Legendre parziale consente di passare dalla funzione → lagrangiana alla funzione → hamiltoniana

formula

limitando la trasformazione alle variabili (le derivate rispetto al tempo delle coordinate) e scrivendole come funzione delle variabili p (i momenti coniugati delle coordinate). La trasformata di Legendre è anche usata in termodinamica per ottenere, a partire dall’energia interna, gli altri potenziali termodinamici: l’entalpia, l’energia libera e l’energia di Gibbs.

Vedi anche
entalpia Funzione, introdotta in termodinamica dal fisico olandese H. Kamerlingh Onnes, definita come somma tra l’energia interna U di un sistema fluido e il prodotto della pressione p per il volume V del fluido che si considera: H=U+pV. L’e. ha le dimensioni di un’energia e si misura in joule nel SI. Poiché ... Josiah Willard Gibbs Chimico fisico statunitense (New Haven, Conn., 1839 - ivi 1903), prof. di fisica matematica (dal 1871) nella Yale University, fondatore della moderna chimica fisica, di cui gettò le basi, collegandola alla termodinamica, nella sua classica opera On the equilibrium of heterogeneous substances (1875-78). ... inclusione Botanica Sostanza o soluzione complessa racchiusa nei vacuoli delle cellule, detta anche incluso cellulare; può essere liquida, come le goccioline di oli, o solida, come la drusa . CHIMICA Composto di i. Tipo di composto chimico derivante dall’imprigionamento di molecole di una sostanza (molecole ospiti) ... applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ...
Tag
  • TRASFORMATA DI LEGENDRE
  • COEFFICIENTE ANGOLARE
  • FUNZIONE Ƒ CONVESSA
  • MECCANICA ANALITICA
  • PRODOTTO SCALARE
Vocabolario
trasformazióne
trasformazione trasformazióne s. f. [dal lat. transformatio -onis, der. di transformare «trasformare»]. – 1. L’atto, l’azione o l’operazione di trasformare, il fatto di trasformarsi o di venire trasformato, che comporta un cambiamento,...
Disforia di genere
disforia di genere loc. s.le f. Condizione di intensa e persistente sofferenza causata dal sentire la propria identità di genere diversa dal proprio sesso anatomico. ♦ «Come ha appena detto la compagna transgender...». I delegati di fabbrica...
  • Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X
  • Ricerca
    • Enciclopedia
    • Vocabolario
    • Sinonimi
    • Biografico
    • Indice Alfabetico

Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.A. © Tutti i diritti riservati

Partita Iva 00892411000

  • facebook
  • twitter
  • youtube
  • instagram
  • Contatti
  • Redazione
  • Termini e Condizioni generali
  • Condizioni di utilizzo dei Servizi
  • Informazioni sui Cookie
  • Trattamento dei dati personali