topologia

topologia

Studio delle proprietà geometriche delle figure che non variano se sottoposte a deformazioni continue, le quali non provochino rotture né sovrapposizioni di punti.

Proprietà topologiche

La t., capitolo fondamentale della matematica, in origine si limitava allo studio di aspetti geometrici qualitativi. Una circonferenza e un quadrato, figure ben distinte nella geometria ordinaria, sono dal punto di vista topologico equivalenti. Si tratta di una curva chiusa semplice: togliendo un punto a tale curva essa rimane connessa (tutta d’un pezzo), mentre togliendole due punti diventa sconnessa (si divide in due pezzi). La connessione è una proprietà topologica, mentre forma e dimensioni non lo sono.

Topologia generale

Si definisce spazio topologico un insieme S di elementi, detti punti, al quale sia associata una famiglia F di sottoinsiemi, detti gli aperti di S, soddisfacenti opportune condizioni. La relazione di vicinanza tra due punti P e Q si esprime tramite un aperto contenente i due punti P e Q. La nozione di connessione equivale all’impossibilità di spezzare lo spazio in due aperti non vuoti e disgiunti. Una nozione fondamentale è quella di applicazione continua f tra due spazi topologici S e S′: se f è biunivoca e bicontinua, cioè sono continue sia f sia la sua inversa, i due spazi hanno le stesse proprietà topologiche (f è detta omeomorfismo).

Altri settori della topologia

Il termine t. indica, in senso generale, la forma intrinseca di una struttura, cioè quella che attiene alle proprietà funzionali delle strutture e che, quindi, non muta se la struttura viene modificata nelle sole dimensioni o anche nelle posizioni dei suoi componenti; si parla così, per es., di t. di una rete elettrica o informatica, posto che una tale rete non cambi nella sostanza se si varia la sua configurazione, fermi restando il numero e la natura dei suoi nodi e dei suoi rami. ● In senso figurato, il concetto di t. è usato per spiegare fenomeni che all’apparenza non sembrano conservare, nel corso di una trasformazione, le proprietà di partenza, e che sono invece l’espressione di un cambiamento continuo, dove permangono corrispondenze biunivoche. In tal modo la t. può diventare uno strumento dell’analisi economica.