T, test

T, test

Test (➔) basato su una statistica la cui distribuzione, sotto l’ipotesi nulla (➔ ipotesi statistica), è uguale a una distribuzione t di Student (➔ Student, t di).

È generalmente usato per la verifica di ipotesi sulla media di una distribuzione gaussiana (➔ gaussiana, distribuzione) con varianza ignota. Per es., volendo verificare che μ=0 contro l’alternativa bidirezionale μ≠0, un test T porta a rifiutare l’ipotesi nulla per valori elevati della statistica T(x₁,...,x_n)=√2n∣x̄/s∣, dove s²=Σ_i(x_i−x̄)²/(n−1) è lo stimatore non distorto della varianza della distribuzione da cui il campione è stato estratto. La regione di rifiuto al livello di significatività α è determinata dal quantile (➔) di ordine 1−α/2 di una distribuzione t di Student con n−1 gradi di libertà. Se l’alternativa fosse μ<0, si rifiuterebbe l’ipotesi nulla per valori elevati di −√2nx̄/s; se invece fosse μ>0, non si accetterebbe l’ipotesi per valori elevati di √2nx̄/s.

Un test T può anche essere impiegato per verificare ipotesi su uno dei parametri o su una combinazione lineare dei parametri di un modello di regressione lineare gaussiano. Per es., si consideri il modello di regressione lineare semplice Y_i=α+βX_i+U_i, dove gli errori U_i sono indipendenti e hanno una distribuzione gaussiana a media zero e varianza σ²_u, e si assuma di volere verificare l’ipotesi nulla β=0 contro l’alternativa β≠0. Utilizzando il metodo dei minimi quadrati (➔ minimi quadrati, metodo dei), si ottengono le stime a, b dei parametri α e β del modello, e i valori predetti Ŷ_i=a+bX_i. Si può allora calcolare la statistica T(x₁,...,x_n)=∣b/√s²u/Σ_i(X_i−X̄_i)²∣, dove s²_u=Σ_i(Y_i−Ŷ_i)²/ (n−2) è una stima non distorta della varianza degli errori di regressione. In questo caso, si rifiuta l’ipotesi nulla se la statistica T(x₁,...,x_n) supera il valore critico derivato dai quantili di una distribuzione t di Student con n−2 gradi di libertà. La validità del test T è legata all’assunzione di normalità dei dati. Quando questa viene meno, la statistica test non presenta una distribuzione t di Student. Il test può tuttavia essere adoperato se il numero di osservazioni è sufficientemente elevato. Infatti, in grandi campioni, la distribuzione della statistica T è ben approssimata dalla distribuzione gaussiana standardizzata.