Zermelo-Fraenkel, teoria di

Zermelo-Fraenkel, teoria di

Zermelo-Fraenkel, teoria di sistema di assiomi per la teoria degli → insiemi, noto anche come teoria ZF, logicamente equivalente a un’altra sistemazione assiomatica indicata come NBG (→ Neumann-Bernais-Gödel, teoria di). La teoria fu proposta per la prima volta da E. Zermelo nel 1908 e fu successivamente perfezionata da A. Fraenkel e T.A. Skolem; sua caratteristica principale è quella di seguire la prassi matematica secondo la quale gli insiemi con cui si lavora sono di fatto sempre sottoinsiemi di insiemi più ampi – e ciò anche per evitare antinomie quali l’antinomia di → Russell. Nella teoria ZF è perciò possibile definire, attraverso un principio di isolamento, soltanto sottoinsiemi di insiemi dati e l’unico insieme di cui si possa dimostrare l’esistenza è l’insieme vuoto. Non è invece possibile dimostrare l’esistenza di un insieme totale che contenga tutti gli altri.

La teoria ZF è una teoria del primo ordine con un’unica lettera predicativa primitiva, ∈, che può essere letta come «appartiene», così come i termini della teoria possono essere letti come «insiemi».

Si pone come definizione la seguente: a = b sta per ∀x(x ∈ a ⇔x ∈ b), dove in a e b non occorre la variabile x. Si pone inoltre x ⊂ y se e solo se

Gli assiomi sono quindi i seguenti:

• ZF 1 (assioma di estensionalità):

Da questo assioma si possono ricavare la riflessività della relazione di uguaglianza e le relazioni di non appartenenza e di disuguaglianza;

• ZF 2 (assioma di isolamento):

in cui A è una formula ben formata con variabile libera. Da questo assioma si può ricavare l’esistenza di un insieme privo di elementi;

• ZF 3 (assioma dell’insieme vuoto):

Dall’assioma si ricava che 0 è privo di elementi e, quindi, 0 = ∅; dalla definizione e dagli assiomi precedenti, anche che esso è unico. Si definisce a questo punto ciò che può essere interpretata come l’«inclusione» tra insiemi: x ⊂ y sta per ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y);

• ZF 4 (assioma della potenza):

in cui P è una lettera funzionale unaria: P(y) rappresenta l’insieme delle parti di y generalmente indicato con ℘(y);

• ZF 5 (assioma della coppia):

Il termine {y, z} è detto coppia non ordinata, cioè l’insieme i cui due unici elementi sono y e z. Ponendo {x} come {x, x}, si definisce la coppia ordinata [x, y] come {{x},{x, y}};

• ZF 6 (assioma dell’unione):

in cui ( è una lettera funzionale primitiva unaria. L’assioma permette l’operazione di unione tra insiemi, giacché ((y) è l’unione di tutti gli insiemi che sono in y. A partire da tale assioma, si definisce anche la lettera funzionale ( da interpretarsi come intersezione tra insiemi. Si definisce inoltre la funzione successore ponendo x′ al posto di x ( {x}. Ponendo poi 1 = 0′ e così via si costruisce l’insieme dei numeri naturali come il più piccolo insieme che contiene 0 ed è chiuso rispetto all’operatore successore;

• ZF 7 (assioma di fondazione):

dove x, y e z sono variabili distinte. L’assioma afferma che ogni insieme non vuoto x ha un y che non ha alcun elemento in comune con x. Non esiste alcun insieme non vuoto x tale che ogni elemento di x ha un elemento che è esso stesso un elemento di x: nessun insieme appartiene a sé stesso. A questo punto si definisce la lettera predicativa N(x), da interpretarsi come «x è un numero naturale», per cui risulta che un numero naturale è uguale a 0 oppure è un successore di un naturale;

• ZF 8 (assioma dell’infinito):

dove ω è una costante primitiva che rappresenta l’insieme di tutti i numeri naturali.

• ZF 9 (assioma di rimpiazzamento):

dove F è una formula ben formata del linguaggio della teoria in cui w non occorre. Intuitivamente, interpretando F come funzione, l’assioma garantisce che se il suo dominio è un insieme lo è anche il codominio e ciò permette di rimpiazzare l’uno con l’altro; al tempo stesso, restringendo il rimpiazzamento alle funzioni, evita il formarsi di insiemi “troppo” generali.

Al precedente sistema di assiomi è talvolta aggiunto, come ulteriore assioma, indipendente dai precedenti, l’assioma della scelta che permette di estrarre un elemento da ogni elemento di una famiglia di insiemi data, permettendo così di fare infinite scelte e di formare un nuovo insieme senza particolari condizioni costruttive restrittive (→ scelta, assioma della). La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l’aggiunta dell’assioma della scelta (ZF10) è anche indicata come teoria ZFC (dall’inglese choice). Un’altra variante della teoria di Zermelo-Fraenkel è quella che include in essa anche l’ipotesi del → continuo generalizzata; per sottolineare il contributo di T. Skolem all’arricchimento della teoria assiomatica degli insiemi, questa ulteriore variante della teoria di Zermelo-Fraenkel è anche indicata come teoria ZFS.