teoria di Lebesgue
teoria di Lebesgue
Complesso di idee e metodi che, sviluppatisi a partire dai lavori di Henri Lebesgue all’inizio del secolo scorso, vanno oggi sotto il nome di teoria della misura e teoria dell’integrazione. Il punto di partenza di Lebesgue è la messa a fuoco dei concetti astratti di misura su un insieme e insieme misurabile. Il primo è una generalizzazione naturale delle nozioni seguenti: (a) la lunghezza l(s) di un segmento s; (b) l’area S(F) di una figura piana F; (c) il volume V(G) di un solido G; (d) l’incremento f(b)−f(a) di una funzione non decrescente f(t) sull’intervallo semichiuso (a,b]; (e) l’integrale (di Riemann) di una funzione non negativa esteso a un dominio di una, due o tre dimensioni. Il secondo, strettamente legato alla nozione di σ-algebra, esprime e generalizza l’idea che la lunghezza di un sottoinsieme della retta reale (anche irregolare, ma comunque non arbitrario, cioè misurabile) sia espressa in termini di quella degli intervalli. Egli definisce inoltre esplicitamente una misura sulla retta reale, oggi detta di Lebesgue. Il passo successivo è la definizione di funzione (sulla retta reale e a valori reali) misurabile, sostanzialmente una funzione f tale che la controimmaggine f−1([a,b]) di un intervallo [a,b] sia un insieme misurabile (se [a,b] non è contenuto nell’immagine di f si pone f−1([a,b])=∅ e l’insieme vuoto ∅ è misurabile) Un importante esempio di funzioni misurabili è la funzione caratteristisca χA di un insieme misurabile A, tale che χA(x)=1 se x∈A e zero altrimenti. Lebesgue ha dimostrato che ogni funzione misurabile è limite in un senso opportuno di funzioni caratteristiche e per questa ragione definisce a l’integrale a partire da queste ultime. Ovviamente per definizione ∫χA(x)dx=μ(A), dove μ(A) è la misura di Lebesgue dell’insieme A; la generalizzazione a combinazioni lineari finite di funzioni caratteristiche è immediata, il passaggio a quelle infinite (e quindi alle funzioni misurabili) avviene con un limite. Il risultante integrale (detto integrale di Lebesgue) non coincide con quello di Riemann ma lo generalizza in maniera sostanziale. Non solo la classe delle funzioni integrabili (cioè quelle di cui è definito l’integrale) risulta enormemente allargata, ma le ipotesi che garantiscono la possibilità di passaggio al limite sotto il segno di integrale (ovvero che garantiscono che da fn→f si possa dedurre ∫fn→∫f) risultano molto più generali della convergenza uniforme necessaria nel caso dell’integrale di Riemann. Tale risultato è noto come teorema della convergenza dominata.