teoria delle rappresentazioni
teoria delle rappresentazioni
Teoria che studia omomorfismi di semigruppi (e in particolare gruppi), algebre o altre strutture algebriche nel corrispondente insieme degli endomorfismi di un altro opportuno spazio (ovvero degli omomorfismi di tale spazio in sé). Nella maggior parte dei casi si considera il caso di rappresentazioni lineari, cioè omomorfismi di semigruppi, gruppi, algebre associative o di Lie in un semigruppo, gruppo, algebra associativa o di Lie di trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale V. Tali rappresentazioni sono anche dette lineari nello spazio V e V stesso prende il nome di spazio della rappresentazione. Talvolta l’appellativo teoria delle rappresentazioni è utilizzato come sinonimo di teoria delle rappresentazioni lineari. Se V ha dimensione finita, allora essa è chiamata dimensione o grado della rappresentazione e la rappresentazione stessa è detta di dimensione finita (infinita in caso contrario). Una rappresentazione è detta fedele se il corrispondente omomorfismo è iniettivo, ovvero a ogni elemento dell’oggetto algebrico rappresentato corrisponde uno e un solo ‘rappresentante’. Alle diverse operazioni su spazi vettoriali corrispondono in questo caso operazioni sulle rappresentazioni. Sono dunque definiti in modo naturale prodotto tensoriale e somma diretta di rappresentazioni. Viceversa, uno dei problemi fondamentali della teoria è quello della decomposizione di rappresentazioni in somme dirette di rappresentazioni elementari, dette irriducibili. In un certo senso, la teoria delle rappresentazioni può considerarsi il procedimento inverso a quello di astrazione intrapreso da gran parte dell’algebra moderna. Se quest’ultima ha proceduto distillando strutture algebriche astratte a partire da modelli concreti (fondamentale a riguardo il caso dei gruppi e algebre di matrici su spazi vettoriali a dimensione finita), la teoria delle rappresentazioni mira a classificare tutte le possibili realizzazioni concrete di tali strutture astratte soddisfacenti determinate proprietà (per es., la linearità). È difficile sottovalutare l’importanza della teoria delle rappresentazioni per la matematica e la fisica contemporanea. Se da un lato lo studio delle rappresentazioni di gruppi e algebre ha motivato molti degli sviluppi dell’analisi funzionale, in fisica si è dimostrato fondamentale il chiarimento delle nozioni di simmetria e trasformazione da essa apportato.