opzioni, teoria delle

opzioni, teoria delle

Teoria relativa alle o. come sinonimo di opportunità di scelta fra due o più alternative. In finanza vi è una molteplicità di tipologie di opzione (➔ opzione, tipologia di p), ma esse sono riconducibili a due tipi base: l’o. call (di acquisto; ➔ call option) e l’o. put (di vendita; ➔ put option).

Opzioni e titoli azionari

I sottostanti di maggior importanza sul mercato delle o. sono i titoli azionari. La teoria delle o. su azioni concerne in particolare le relazioni che legano fra loro i prezzi delle opzioni europee (➔), delle opzioni americane (➔) e delle azioni sottostanti, nonché la convenienza all’esercizio prematuro (early exercise) delle o. americane. Alcuni risultati della teoria sono indipendenti da ipotesi particolari sull’evoluzione futura del processo aleatorio dei prezzi del sottostante azionario; altri richiedono, invece, ipotesi specifiche su tale evoluzione. In generale, i fattori che influenzano il prezzo di un’o. azionaria sono: il prezzo corrente dell’azione e la sua volatilità (misura della variabilità dei prezzi futuri); il prezzo di esercizio; la vita residua (fino alla data di scadenza); il tasso di interesse su attività non rischiose; e il valore attuale dei dividendi attesi fino a scadenza. Il valore di una call cresce all’aumentare del prezzo corrente, della vita residua, della volatilità e del tasso di interesse, diminuisce con l’incremento del prezzo di esercizio e dei dividendi attesi. Per il valore di una put, le relazioni sono inverse per tutte le variabili, tranne che per vita residua e volatilità.

Relazioni quantitative

Base di ogni esito teorico è la considerazione di ciò che accade alla scadenza dell’opzione. Indicando con S(T) il prezzo a scadenza (tempo T) dell’azione sottostante e con K il prezzo di esercizio, in assenza di frizionalità (costi di transazione e tassazione) il valore a scadenza (detto anche saldo netto della posizione lunga) di un’o. call per il detentore è il massimo fra S(T)−K e 0. Infatti, se S(T)>K, il detentore troverà conveniente esercitare l’o., cioè comperare, pagando K, ciò che sul mercato vale S(T); in caso contrario, lascerà spirare l’o. senza esercitarla. Simmetricamente il valore a scadenza di un’o. put è per il detentore il massimo fra K−S(T) e 0: se e solo se K>S(T) troverà conveniente vendere, incassando K, quel che il mercato valuta S(T). Il saldo netto di una posizione corta (per lo scrivente) è esattamente l’opposto. Da questi risultati consegue immediatamente la seguente fondamentale relazione: P(T)−C(T)+S(T)−K=0. Essa è valida a scadenza e in assenza di frizionalità per ogni tipo di o. e qualunque sia il prezzo S(T) del sottostante, ed è detta parità put-call poiché collega i prezzi di o. call e put omologhe, cioè con lo stesso sottostante S, la stessa scadenza T e lo stesso prezzo di esercizio K. Negli sviluppi teorici conviene interpretare K anche come valore nominale K(T) di un’obbligazione senza cedole con la stessa scadenza T delle opzioni. Data un’epoca t precedente la scadenza (t<T), e indicando con K(t)=Kexp(−r(T−t)=Kv^(T−t), il valore corrente in t al tasso istantaneo r (al fattore di attualizzazione v=exp(−r)) del CTZ, K si scompone nella K=K(t)+(K−K(t)). Il secondo addendo esprime gli interessi posticipati generati da K(t) nel periodo (intervallo) fra t e T, ovvero anche gli interessi anticipati K(1−v^(T−t)) generati da K. Supposto che sia lecito riferire la parità put-call all’epoca t, risulta P(t)−C(t)+S(t)−K(t)=0, dalla quale si deducono le equazioni: C(t)=(S(t)−K)+P(t)+K(1−v^(T−t)) e, rispettivamente, P(t)=(K−S(t))+C(t)−K(1−v^(T−t)). Esse porgono espressive scomposizioni del valore di o. europee nella somma algebrica di 3 componenti, dette rispettivamente valore intrinseco, premio di ripensamento e premio (o pedaggio) di interessi. In particolare, la somma della seconda e terza componente si definisce premio temporale o valore del tempo; esso è sicuramente non negativo (anzi in pratica certamente positivo) nelle call, di segno ambiguo nelle put. Inoltre, se il valore intrinseco è positivo, rappresenta il valore di un ipotetico esercizio immediato (impossibile nelle o. europee). La positività del valore del tempo in una call chiarisce che, anche ove fosse concesso di esercitare prematuramente (solo all’epoca t) una o. europea, non sarebbe conveniente approfittarne: tale mossa farebbe svanire il valore del tempo. Ambigua, invece, appare in questo senso la situazione di una put: nel solo caso di prevalenza del pedaggio di interesse il valore dell’esercizio immediato sarebbe maggiore del valore di mercato e quindi converrebbe cogliere l’opportunità. Quanto detto aiuta a comprendere la differenza fra o. americane e o. europee. Il prezzo di una o. americana sarà ancora la somma del valore intrinseco e del premio temporale. Questo deriva da due fonti: il vantaggio del ripensamento e il vantaggio o lo svantaggio risultante dal premio o pedaggio di interesse. Nella situazione in cui il ventaglio delle possibilità di esercitare è molto più ampio (nei modelli discreti una sequenza di tempi di esercizio equintervallati e in quelli continui tutti gli istanti di un intervallo) il premio temporale dell’o. americana sarà superiore a quello della corrispondente europea. Ne consegue immediatamente che non è mai conveniente esercitare prematuramente una call americana, mentre rimane ambigua la convenienza all’esercizio prematuro di una put americana; in linea di massima esso sarà tanto più conveniente quanto più alto sono il tasso di interesse e il tempo a scadenza e quanto più basso il valore del ripensamento, ovvero quanto più sono bassi la volatilità, il tempo a scadenza e l’opposto del valore intrinseco.

Influenza dei dividendi

Questi ragionamenti sono stati condotti nell’ipotesi di assenza di dividendi corrisposti dal sottostante azionario. A parità di redditività dell’impresa, infatti, la distribuzione di dividendi deprime il corso futuro dei prezzi dell’azione e dunque diminuisce il valore della call e aumenta quello della put rispetto a omologhe azioni prive di dividendi. L’influenza dei dividendi si esplica sia sui confini inferiori o superiori di call e put europee (dove occorre detrarre per la call o aggiungere per la put al valore corrente del sottostante il valore attuale dei dividendi previsti) sia sulla convenienza all’esercizio prematuro di o. americane. In presenza di dividendi potrebbe diventare conveniente l’esercizio prematuro di una o. call solo un istante prima dello stacco della cedola corrispondente. Indicando con t_i la generica epoca di stacco di un dividendo, l’esercizio prematuro all’epoca t_i risulta sicuramente non conveniente se D_i<K(1−exp(−r(t_i−t_i))), ovvero se il vantaggio di intascare il dividendo è inferiore all’interesse perso sul prezzo di esercizio per il tempo che separa dal prossimo stacco (dove il problema si riproporrà). La condizione D_i>K(1−exp(−r(t_i−t_i))) è necessaria per l’esercizio prematuro; essa, tuttavia, non è sufficiente, poiché bisogna tenere conto anche della perdita del vantaggio derivante dal ripensamento. Sono disponibili formule chiuse (Roll-Geske-Whaley) per il valore di una o. call americana su un sottostante il cui prezzo segue un processo aleatorio lognormale e che distribuisce un unico dividendo certo prima della scadenza. +1+1