gruppi, teoria dei

gruppi, teoria dei

gruppi, teoria dei branca dell’algebra che si occupa dello studio dei gruppi e della loro classificazione. L’importanza del → gruppo come struttura primaria dell’algebra nello sviluppo della stessa algebra astratta costituisce un esempio di quell’opera di generalizzazione che negli ultimi due secoli è diventata un aspetto fondamentale in quasi tutti i campi della matematica e ha generato la moderna algebra. L’introduzione e l’uso sistematico del concetto di gruppo è tra le acquisizioni più importanti della matematica dopo l’invenzione del calcolo infinitesimale. Il concetto di gruppo, inteso come ambiente in cui si possa effettuare una operazione, anche diversa dalle consuete operazioni aritmetiche, emerge dallo studio della risolubilità «per radicali» delle equazioni algebriche. Dopo la scoperta di tali formule risolutive per le equazioni al più di quarto grado, furono fatti molti tentativi per risolvere le equazioni di grado superiore. Nel 1813 P. Ruffini e, indipendentemente, N.H. Abel nel 1825 dimostrarono che l’equazione generale del quinto ordine non era risolubile «per radicali». I motivi profondi di questo risultato furono messi in luce da E. Galois nel 1832, che associò a ogni equazione algebrica un opportuno gruppo finito (gruppo di Galois) e dimostrò che l’equazione considerata è risolubile per radicali se e solamente se i gruppi semplici per mezzo dei quali tale gruppo è costituto sono tutti quanti abeliani. E. Galois, che si può considerare il vero iniziatore della teoria, nell’ambito del suo lavoro, che poi sarà definito come teoria di → Galois, concentrò infatti il suo studio sulle permutazioni dei coefficienti delle equazioni. I gruppi di permutazioni furono quindi i primi gruppi a essere studiati, ma ancora J. Liouville, che pubblicò le memorie di Galois nel 1846 e certamente comprese l’importanza del concetto, non utilizzò il termine «gruppo». Nella prima metà del xix secolo, in vari ambiti algebrici e precisamente nei lavori di A.-L. Cauchy, P. Ruffini e C. Jordan emersero la necessità e l’utilità di considerare insiemi chiusi rispetto a un’operazione, ma ancora né il termine né la nozione né le proprietà da considerare erano stabili. In più, tali insiemi erano comunque insiemi di operatori (sostituzioni, trasformazioni o funzioni che fossero) per i quali era implicita la proprietà associativa: per esempio, Cauchy e Jordan chiamavano «sistemi coniugati di sostituzioni» tali insiemi con operazione e ancora non era considerato da tutti necessario postulare l’associatività o l’esistenza di un elemento neutro o dell’inverso per ogni elemento. D’altra parte, occorre considerare che non si era ancora sviluppata pienamente l’idea, propria dell’impostazione attuale della matematica, di costruire non soltanto isolati strumenti ad hoc per risolvere problemi oppure imponenti teorie generali riguardanti un intero settore della matematica (come la sistemazione assiomatica che Euclide aveva dato alla geometria), ma teorie locali dotate di loro propri assiomi.

La nozione generale di gruppo in un’accezione simile a quella odierna è dovuta ad A. Cayley, che ne scrisse in un articolo del 1854 in cui introdusse esplicitamente l’elemento neutro e la necessità che l’operazione fosse associativa, avviando così quel processo che portò il concetto a svincolarsi dalle permutazioni. Via via, ci si rese conto che il gruppo, all’inizio detto gruppo astratto, era un concetto molto più generale e lo si poteva applicare a molti contesti della matematica. Così, nel 1870, L. Kronecker lo applica a insiemi numerici e S. Lie inizia lo studio di gruppi infiniti continui, con l’idea di estendere la teoria di Galois alle equazioni differenziali; i gruppi continui più importanti rientrano nella classe dei gruppi di → Lie: i numeri reali e complessi, i gruppi ortogonali delle simmetrie di un cerchio o della sfera, i gruppi lineari delle trasformazioni in uno spazio euclideo in sé stesso. La teoria dei gruppi di Lie e quella degli omomorfismi di un gruppo in un gruppo lineare (cioè la teoria delle rappresentazioni lineari di un gruppo) diventano uno strumento indispensabile sia per il matematico sia per il fisico. Nel 1872 F. Klein, nel cosiddetto programma di → Erlangen, pone i gruppi addirittura a fondamento della classificazione delle geometrie. Al passaggio tra il xix e il xx secolo tutta la matematica viene assiomatizzata e la teoria dei gruppi diventa un settore di studio specifico tra i più estesi e sviluppati della matematica. La definitiva idea di gruppo come insieme dotato di una determinata struttura algebrica si deve infine, attorno agli anni Venti del xx secolo, a E. Noether. Dagli anni Sessanta è iniziato uno studio sistematico dei gruppi semplici finiti non commutativi: un teorema dovuto a W. Feit e J.G. Thompson e pubblicato nel 1963, ha stabilito che ogni gruppo semplice finito non abeliano è di ordine pari e ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile. Per quel che riguarda i gruppi abeliani semplici finiti, invece, fin dal 1870 L. Kronecker aveva provato che ogni gruppo di questo tipo è una somma diretta di → gruppi ciclici. La struttura dei gruppi infiniti, invece, è ancora oggetto di ricerche.