Sturm, teorema di
Sturm, teorema di
Sturm, teorema di o regola di Sturm, algoritmo per la determinazione del numero di zeri reali di un polinomio a coefficienti reali p(x) compresi tra due dati valori a e b che non siano a loro volta radici di p(x). La regola di Sturm consente di determinare con esattezza (a differenza del metodo di → Budan-Fourier) il numero di radici reali di un polinomio a coefficienti reali che cadono in un intervallo. A tal fine si applica l’algoritmo di → Euclide per il calcolo del massimo comune divisore tra il polinomio p(x) e la sua derivata p′(x), con l’accorgimento di cambiare il segno di ogni resto prima di portarlo a divisore della divisione successiva: se dividendo p(x) per p′(x) si ottiene
si pone s1(x) =−r1(x) e si effettua quindi la divisione di p′(x) per s1(x), così da ottenere
dopo aver posto s2(x) = − r2(x), si effettua la divisione di s1(x) per s2(x) e si ripete il procedimento fino all’ultimo resto non nullo. Si determina in questo modo la successione di polinomi {p(x), p′(x), s1(x), s2(x), …, sk(x)} (detta successione di Sturm associata a p(x)), dove k coincide con il numero delle divisioni successive effettuate fino a ottenere l’ultimo resto non nullo. Più in generale, una successione {p0(x), p1(x), …, pm(x)} di polinomi reali si dice successione di Sturm se p0(x) possiede solo zeri semplici, nei quali il segno di p1(x) sia opposto a quello della derivata p0′(x), e se per ogni zero ξ di pi(x), 1 ≤ i < m i valori pi+1(ξ) e pi−1(ξ) sono discordi. Dato un numero reale c, sia S(c) il numero di variazioni di segno (esclusi gli eventuali zeri) che compaiono nella successione numerica {p(c), p′(c), s1(c), s2(c), …, sk(c)}, ottenuta calcolando in c tutti i polinomi che compaiono nella successione di Sturm associata a p(x). Allora, il teorema di Sturm stabilisce che il numero di radici reali distinte del polinomio p(x) comprese tra a e b è uguale a S(a) − S(b). In questo modo è possibile separare gli zeri reali di un polinomio, e quindi determinarli col metodo di → bisezione (che non richiede ipotesi sulla convessità, come per esempio il metodo di → Newton). Si ricordi anche che è sempre possibile eliminare gli zeri multipli di p0(x) considerando il mcd(p0(x), p0′(x)).