teorema di Kuhn-Tucker
teorema di Kuhn-Tucker
Nella funzione lagrangiana che compare nell’enunciato del teorema di Fritz John, il moltiplicatore λ0 (associato alla funzione obiettivo f) può valere 0 oppure 1, nel senso che se risulta λ0≠0 possiamo sempre supporlo unitario (eventualmente dividendo per una quantità positiva l’espressione della funzione lagrangiana). Non è comunque una differenza da poco perché, quando risulta λ0=0, scompare del tutto il ruolo svolto dalla funzione obiettivo nella lagrangiana. Ebbene, il teorema di Kuhn-Tucker (detto anche di Karush-Kuhn-Tucker, per sottolineare il ruolo pioneristico svolto dall’americano William Karush nella sua tesi di dottorato ancora prima della Seconda guerra mondiale) conserva la struttura del teorema di Fritz John ma un’ipotesi aggiuntiva, detta di qualificazione dei vincoli, garantisce che nelle condizioni viste nel teorema di Fritz John risulta proprio λ0=1. Di condizioni di qualificazione dei vincoli ce ne sono molte. Alcune sono equivalenti tra di loro, altre più o meno generali. Tra le più note segnaliamo quella che richiede che i vettori gradiente delle funzioni di vincolo grad gi(x0) siano linearmente indipendenti e quella che richiede che le stesse funzioni gi siano pseudo-convesse. La condizione necessaria di Kuhn -Tucker diventa anche sufficiente in ipotesi di convessità: se x0 soddisfa le relazioni viste nel teorema di Fritz John con λ0=1, la funzione obiettivo f è pseudo-concava e le funzioni gi sono quasi-convesse, allora il punto x0 è soluzione del problema di ottimo.