Eulero, teorema di
Eulero, teorema di
Teorema delle funzioni omogenee, attribuito al matematico Leonhard Euler (Basilea 1707- San Pietroburgo 1783). Una funzione f=f(x1,...,xk) a valori in Rk si dice omogenea di grado p se per ogni scelta di variabili x1,...,xk e per α>0, si ha che f(αx1,...,αxk)=αpf(x1,...,xk). Il teorema di E. fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione f differenziabile sia omogenea di grado p: f è omogenea se e soltanto se la somma delle k derivate parziali di f moltiplicate per ciascuna delle componenti, Σi(∂f/∂xi)xi, è uguale a Σi(∂f/∂xi)xi=pf(x1,...,xk). Un’implicazione economica di questo risultato è la seguente. Supponiamo di avere una funzione di produzione f con rendimenti di scala costanti, cioè f(αx1,...,αxk)=αf(x1,...,xk), dove x1,...,xk sono i fattori di produzione. Allora, Σi(∂f/∂xi)xi=f(x1,...,xk), cioè il prodotto viene interamente esaurito remunerando ciascun fattore xi con un ammontare pari alla sua produttività marginale (∂f/∂xi).