Dini, teorema di

Dini, teorema di

Dini, teorema di in analisi, stabilisce che se una funzione reale di due variabili ƒ(x, y) è continua con la sua derivata parziale ƒ_y in un aperto A di R², se P₀(x₀, y₀) ∈ A e se la funzione si annulla in P₀ mentre la sua derivata parziale ƒ_y è diversa da 0 in tale punto, cioè ƒ(x₀, y₀) = 0 e ƒ_y(x₀, y₀) ≠ 0, allora l’equazione ƒ(x, y) = 0 è univocamente risolubile rispetto a y in un intorno di P₀ e la funzione implicita φ(x) da essa definita è continua in U. Se inoltre anche la derivata parziale ƒ_x è continua, φ(x) è derivabile e risulta

In particolare, essendo φ(x₀) = y₀, è esplicitamente calcolabile la derivata

Se poi ƒ ∈ Cⁿ(A), anche φ ∈ Cⁿ(U) e le derivate successive si possono calcolare applicando ripetutamente la formula di derivazione delle funzioni composte all’identità ƒ(x, φ(x)) ≡ 0. Il teorema si generalizza a funzioni di più variabili, anche vettoriali, e quindi a sistemi (si hanno anche generalizzazioni in spazi di Banach). Il sistema f(x, y) ≡ 0, con x ∈ R^m, y ∈ Rⁿ e f: R^n+m → Rⁿ di classe C1 è univocamente risolubile rispetto a y in un intorno di una sua radice se il determinante jacobiano parziale det(J_y) = ∂f/∂y non si annulla nella radice; la matrice jacobiana del vettore φ(x) definito dall’identità f(x, φ(x)) ≡ 0 è data da