Budan-Fourier, teorema di
Budan-Fourier, teorema di
Budan-Fourier, teorema di pone in relazione, in un polinomio p(x) di grado n a coefficienti reali, il numero di variazioni di segno della sequenza delle sue derivate e gli zeri del polinomio stesso. Infatti, considerata la sequenza dei valori assunti in un punto dal polinomio e dalle sue derivate prima, seconda, ..., n-esima, si ha:
• se in un punto x1 tale sequenza presenta n variazioni di segno, non esiste alcuno zero α < x1;
• se in un punto x2 tale sequenza non presenta variazioni di segno, non esiste alcuno zero α > x2;
• se in due punti x3 e x4 (con x3 < x4) tale sequenza presenta h e k variazioni di segno, rispettivamente, il numero degli zeri contenuti nell’intervallo fra i due punti è |h – k| o ne differisce per un numero pari.
Più precisamente, se si indica con V(x) il numero di variazioni di segno della sequenza p(x), p′(x), p″(x), ... p(n)(x), allora nell’intervallo (a, b), con a < b, la differenza V(a) − V(b), che non è mai negativa, è uguale al numero delle soluzioni dell’equazione p(x) = 0 che cadono in (a, b), o lo supera di un numero pari.
Per esempio, se p(x) = x3 − x2 + α, allora per 0 < α < 2 risulta V(−1) = 3, V(0) = 2, V(1) = 0, sicché esiste una radice nell’intervallo (−1, 0), mentre in (0,1) le radici sono 2 se α > 4/27 e sono 0 se α < 4/27. Si noti che per x → −∞, V(x) → n, mentre per x → +∞, V(x) → 0. Inoltre V(0) è uguale al numero di variazioni della sequenza dei coefficienti di p(x); questo corrisponde alla regola di → Cartesio: il numero degli zeri positivi del polinomio p(x) è al più V(0), potendone differire per un numero pari (→ Sturm, teorema di).