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Budan-Fourier, teorema di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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Budan-Fourier, teorema di


Budan-Fourier, teorema di pone in relazione, in un polinomio p(x) di grado n a coefficienti reali, il numero di variazioni di segno della sequenza delle sue derivate e gli zeri del polinomio stesso. Infatti, considerata la sequenza dei valori assunti in un punto dal polinomio e dalle sue derivate prima, seconda, ..., n-esima, si ha:

• se in un punto x1 tale sequenza presenta n variazioni di segno, non esiste alcuno zero α < x1;

• se in un punto x2 tale sequenza non presenta variazioni di segno, non esiste alcuno zero α > x2;

• se in due punti x3 e x4 (con x3 < x4) tale sequenza presenta h e k variazioni di segno, rispettivamente, il numero degli zeri contenuti nell’intervallo fra i due punti è |h – k| o ne differisce per un numero pari.

Più precisamente, se si indica con V(x) il numero di variazioni di segno della sequenza p(x), p′(x), p″(x), ... p(n)(x), allora nell’intervallo (a, b), con a < b, la differenza V(a) − V(b), che non è mai negativa, è uguale al numero delle soluzioni dell’equazione p(x) = 0 che cadono in (a, b), o lo supera di un numero pari.

Per esempio, se p(x) = x3 − x2 + α, allora per 0 < α < 2 risulta V(−1) = 3, V(0) = 2, V(1) = 0, sicché esiste una radice nell’intervallo (−1, 0), mentre in (0,1) le radici sono 2 se α > 4/27 e sono 0 se α < 4/27. Si noti che per x → −∞, V(x) → n, mentre per x → +∞, V(x) → 0. Inoltre V(0) è uguale al numero di variazioni della sequenza dei coefficienti di p(x); questo corrisponde alla regola di → Cartesio: il numero degli zeri positivi del polinomio p(x) è al più V(0), potendone differire per un numero pari (→ Sturm, teorema di).

Tag
  • REGOLA DI → CARTESIO
  • POLINOMIO
  • CARTESIO
  • ZERI
Vocabolario
fourier
fourier 〈furi̯é〉 s. m. [dal nome del matematico e fisico fr. F.-B.-J. Fourier (1768-1830)]. – Unità pratica di misura della resistenza termica: si dice che una parete ha la resistenza termica di 1 fourier quando, esistendo tra le due sue...
teorèma
teorema teorèma s. m. [dal lat. tardo theorēma, gr. ϑεώρημα (propr. «ricerca, meditazione», der. di ϑεω-ρέω «esaminare, osservare»)] (pl. -i). – 1. Nella cultura classica e medievale, la «visione» sensibile o intellettiva e il relativo...
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