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tensore di Ricci

di Gilberto Bini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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tensore di Ricci

Gilberto Bini

Sia M una varietà dotata di una metrica riemanniana. Indichiamo rispettivamente con gij e con Rijkl le espressioni locali della metrica riemanniana e delle componenti del tensore di curvatura. A partire da quest’ultimo, si definisce un altro tensore, detto di Ricci, le cui componenti sono date nel modo seguente:

formula

Si ricorda che per alleggerire le notazioni, si applica l’usuale convenzione secondo la quale un indice ripetuto in ogni addendo (in questo caso ‘r’) sostituisce una sommatoria (∑r). I coefficienti gkl sono gli elementi della matrice inversa di gkl. È degno di nota il fatto che i tensori Rij e gij siano esattamente dello stesso tipo: sono entrambi simmetrici, cioè non variano scambiando tra loro i e j. Il tensore di Ricci fornisce un modo per dare una misura di quanto la geometria determinata da una varietà riemanniana differisca dalla geometria dello spazio euclideo ordinario. Infatti, su una varietà riemanniana esistono delle coordinate locali rispetto alle quali i coefficienti gij della metrica possono essere approssimati da quelli della metrica euclidea a meno di termini quadratici. Rispetto a tali coordinate la forma di volume di M si esprime in termini della forma di volume euclideo a meno di termini che coinvolgono il tensore di Ricci.

→ Geometria differenziale

Vedi anche
Gregorio Ricci-Curbastro Matematico (Lugo 1853 - Bologna 1925). Allievo di E. Betti e U. Dini, si perfezionò poi a Monaco di Baviera (1877-78) con F. Klein e A. Brill. Prof. nell'univ. di Padova (dal 1880), vi insegnò per 45 anni fisica-matematica (dal 1891 anche analisi algebrica); socio nazionale dei Lincei (1916), uno dei ... sistèma di riferiménto Schematizzazione geometrica dello spazio al quale si riferisce un ente o fenomeno (per es. il moto di un corpo); più precisamente, insieme di elementi (origine, assi coordinati, unità di misura), che permette di associare a ogni ente geometrico (punto, retta ecc.) uno o più enti analitici (coordinate, ... figura simmètrica In geometria, si dice simmetrica (centralmente, assialmente o rispetto a un piano) una figura che corrisponde a sé stessa in una simmetria. Per es. il triangolo equilatero è una f.s. assialmente rispetto a tre assi, mentre il cerchio è una f.s. centralmente e rispetto ai suoi infiniti diametri. sommatoria Simbolo operatorio che permette di indicare in modo conciso la somma di più addendi muniti di indice; il simbolo di s. è un sigma maiuscolo (Ʃ) accompagnato da un indice variabile in un certo intervallo o in un certo insieme: per es., ∑4i=1 xi (che si legge: somma di xi per i che va da 1 a 4) è uguale ...
Categorie
  • GEOMETRIA in Matematica
Tag
  • GEOMETRIA DIFFERENZIALE
  • VARIETÀ RIEMANNIANA
  • METRICA EUCLIDEA
  • SPAZIO EUCLIDEO
  • MATRICE INVERSA
Altri risultati per tensore di Ricci
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    Ricci, tensore di tensore di curvatura (simmetrico e di ordine 2) ottenuto per contrazione dal tensore di Riemann (che è di ordine 4): Rjn = Rkjnk (→ tensore). Misura la curvatura di una varietà riemanniana. Il suo nome è dovuto a G. Ricci-Curbastro.
Vocabolario
tensóre²
tensore2 tensóre2 s. m. [lo stesso etimo di tensóre1]. – 1. In matematica, termine col quale inizialmente si è indicato il modulo di un vettore, successivamente passato a significare una generalizzazione del concetto di vettore, adatta...
tensóre¹
tensore1 tensóre1 agg. e s. m. [der. del lat. tensus, part. pass. di tendĕre «tendere»]. – In anatomia, di muscolo volontario o involontario che ha la funzione di tendere un organo o una formazione anatomica (muscolo t., o assol. tensore...
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