polinomi ortogonali
polinomi ortogonali denominazione di diverse famiglie di polinomi unite da numerose caratteristiche comuni, che ne consentono una descrizione unificata. Se una famiglia {pn(x), n [...] grado è Kn è una costante;
• una funzione generatrice per una famiglia di polinomi è una funzione F(z) che ammette lo sviluppodiMaclaurin
Le prime e principali applicazioni dei polinomi ortogonali sono nel campo delle equazioni differenziali ...
Leggi Tutto
Gregory-Leibniz, serie di
Gregory-Leibniz, serie di in analisi, sviluppodi → Maclaurin della funzione arcotangente:
valido nell’intervallo (−1, 1). Tale sviluppo, descritto da J. Gregory nel 1668, [...] che può essere espressa anche come π = 4(4arctan(1/5) − arctan(1/239)).
Per apprezzare la rapidità di convergenza di queste serie si osservi che bastano sei addendi della prima serie e due della seconda (valutati con 9 cifre decimali per controllare ...
Leggi Tutto
convergenza, intervallo di
convergenza, intervallo di per una serie di potenze nel campo reale, è l’intersezione con l’asse reale del suo cerchio di convergenza nel piano complesso.
Per esempio, la serie
converge [...] classe C ∞(R), e che nulla nel suo grafico pare impedire la convergenza del suo sviluppodiMaclaurin al di fuori dell’intervallo (−1, 1) (→ Maclaurin, serie di). Considerando invece la funzione
si nota che essa presenta due poli nei punti z = ±i ...
Leggi Tutto
funzione generatrice
funzione generatrice della successione {cn(z)}, è una funzione w(z, t) che ammetta lo sviluppodi → Maclaurin
La funzione generatrice delle partizioni di un insieme di n elementi [...] → Dirichlet, come la funzione
Per esempio, la funzione toziente di → Eulero è generata da
e la funzione di → Möbius è generata da
dove con ζ(s) si è indicata la funzione zeta di → Riemann.
Per la funzione generatrice dei polinomi ortogonali si ...
Leggi Tutto
Successione ordinata e continua di elementi, concreti e astratti, dello stesso genere.
Ecologia
Successione delle comunità che si sostituiscono l’una all’altra in una regione. Le comunità di transizione [...] proprietà che la somma dei suoi primi k termini rappresenta la funzione data f(x) con un errore dell’ordine di x−k.
Serie binomiale
È lo sviluppo in s. diMaclaurin della funzione (1+x)n, con x reale o complesso, n reale ≠0. Si ha (1+x)n= ∑∞k=0 ...
Leggi Tutto
funzione intera
funzione intera locuzione che assume diversi significati a seconda del contesto.
□ Nell’analisi delle funzioni complesse la locuzione (o quelle analoghe di funzione analitica intera o [...] . È, quindi, una funzione olomorfa in tutto C. Equivalentemente, si può dire che una funzione di variabile complessa si dice intera se il suo sviluppodiMaclaurin ha raggio di convergenza ∞. La somma, la differenza, il prodotto o la derivata ...
Leggi Tutto
funzione esponenziale
funzione esponenziale funzione definita da x ↦ bx per x nel campo reale e per ogni base b > 0, b ≠ 1, spesso indicata con expb(x). Essa risulta strettamente crescente se b > [...] e così la sua primitiva è ancora ex + C.
La funzione esponenziale si estende al campo complesso mediante il suo sviluppodi → Maclaurin
Per essa continua a valere la regola degli esponenti e il limite notevole, mentre all’infinito essa ammette una ...
Leggi Tutto
sviluppabilita
sviluppabilità in geometria, proprietà di una superficie di essere “distesa” (senza stiramenti e lacerazioni) su un piano. Per essere sviluppabile una superficie deve essere una → superficie [...] funzione (→ funzione, sviluppo in serie di una; → Fourier, sviluppodi una funzione in serie di; → Laurent, sviluppodi una funzione in serie di; → Maclaurin, sviluppodi una funzione in serie di; → Taylor, sviluppodi una funzione in serie di) e la ...
Leggi Tutto
Maclaurin, serie diMaclaurin, serie di caso particolare della serie di → Taylor, in cui il centro è nell’origine. La sua importanza consiste nel fatto che, per la sua semplicità strutturale, le più [...] = 1, basta eseguire una trasformazione quale la seguente:
per ricondurne lo sviluppo a quello di ln(1 + z), con z = 2(x − 1)/5, sviluppabile in serie diMaclaurin. Si avrà dunque:
Per gli sviluppi in serie diMaclaurin si veda la relativa tavola. ...
Leggi Tutto