svanimento

svanimento

svanimento (di una funzione) in analisi, termine che indica l’annullamento delle derivate di una funzione da un certo ordine in poi. Più precisamente, se ƒ: (a, b) → R è una funzione differenziabile infinite volte definita su un intervallo reale (a, b) e se x₀ ∈ (a, b), allora si definisce l’ordine di svanimento (o ordine di annullamento) di ƒ in x₀ come il minimo intero k per cui la derivata k-esima ƒ ^(k)(x₀) calcolata in x₀ è diversa da 0 (dove si pone per definizione ƒ ⁽⁰⁾(x) = ƒ(x)). Pertanto il luogo degli zeri di ƒ coincide con l’insieme dei punti in cui ƒ si annulla con ordine almeno 0. Per esempio, l’ordine di annullamento della funzione ƒ(x) = x ³ + x ⁵ nel punto 0 è 3. Per un polinomio p(x), l’ordine di annullamento in un punto x₀ coincide con la molteplicità di x₀ come radice di p(x). Se la funzione considerata non è differenziabile infinite volte, ma è solamente differenziabile k volte, per un opportuno naturale k, la definizione di ordine di annullamento può essere comunque data in modo identico per ordini minori o uguali a k. La definizione data nel caso di una variabile reale può essere estesa a funzioni di variabile complessa come anche a funzioni di due o più variabili, definendo l’ordine di annullamento in un punto P come il minimo intero k per cui almeno una derivata parziale di ordine k non si annulla nel punto.