superficie

superficie

superficie concetto intuitivo della geometria elementare, associato a un insieme bidimensionale di punti dell’ordinario spazio euclideo tridimensionale. Il concetto nasce per astrazione dalla nozione empirica di contorno di un oggetto solido o di lamina di spessore trascurabile. Introdotto nello spazio euclideo tridimensionale un sistema di riferimento cartesiano, una tale superficie può essere rappresentata da un’equazione del tipo ƒ(x, y, z) = 0 o del tipo z = ƒ(x, y), dette, rispettivamente, equazione cartesiana implicita ed equazione cartesiana esplicita della superficie. Una superficie in R³ in generale è rappresentata mediante equazioni parametriche del tipo

definite al variare dei parametri (u, v) in un insieme X del piano R², detto insieme base. L’immagine di queste funzioni, cioè l’insieme dei suoi punti, sono il sostegno o il supporto della superficie.

Una superficie di equazione ƒ(x, y, z) = 0 è detta superficie algebrica se la funzione ƒ(x, y, z) è un polinomio il cui grado n è detto ordine della superficie, altrimenti è detta trascendente. In tale contesto, le superfici algebriche di ordine 1 sono dette piani, quelle di ordine due quadriche, quelle di ordine tre cubiche.

Generalmente nella rappresentazione parametrica, si considera il caso in cui le funzioni siano funzioni continue e l’insieme base sia un plurintervallo I chiuso, limitato e connesso del piano.

Sono esempi notevoli di superficie le superfici di rotazione, di asse z, di equazioni parametriche

con α ≤ u ≤ β, a ≤ ν ≤ b: una curva di equazioni parametriche x = ƒ(ν), z = h(ν) è detta curva meridiana della superficie; le superfici rigate, di equazioni parametriche

le quali, per ogni ν fissato, rappresentano una retta, detta generatrice della rigata. Se le x̄_i sono indipendenti da ν, le generatrici passano tutte per uno stesso punto e la rigata è una superficie conica; se le α_i sono indipendenti da ν, le generatrici hanno tutte la stessa direzione e la rigata è una superficie cilindrica.

Un punto semplice di una superficie è un punto che non è possibile ottenere per due diversi punti dell’insieme base, non appartenenti alla frontiera. La superficie è detta semplice se tutti i suoi punti sono semplici. Un punto multiplo di ordine n è invece ogni punto ottenuto in corrispondenza a n distinti punti dell’insieme base, non appartenenti alla frontiera. Se n = 2 si ha un punto doppio. Una superficie rappresentata da funzioni iniettive è priva di punti multipli. Una superficie si dice chiusa se la curva chiusa C, a essa appartenente, di equazioni parametriche

(dove u = ƒ(τ), ν = g(τ) sono le equazioni parametriche della frontiera dell’insieme I) è tale che per ogni arco di C non ridotto a un solo punto anche l’arco complementare rispetto a C è un arco di C. Un punto P₀(x₀, y₀, z₀) è detto punto regolare di una superficie se in esso i determinanti jacobiani

non sono contemporaneamente nulli (→ matrice jacobiana). Una superficie formata da punti regolari è detta superficie regolare. Si dice retta tangente a una superficie in un suo punto P₀(x₀, y₀, z₀) una retta tangente a una qualsiasi curva tracciata sulla superficie e passante per il punto. L’insieme delle tangenti a una superficie in un suo punto P₀ è detto cono tangente. Un punto doppio di una superficie è detto nodo o punto doppio biplanare se il cono tangente per esso è costituito da due piani reali e distinti. Se P₀ è un punto regolare di una superficie, il cono tangente è un piano, detto piano tangente alla superficie in P₀, e ha equazione:

Se il piano tangente ha un contatto del primo ordine con la superficie, il punto P₀ è detto punto ordinario. Nell’intorno di un punto ordinario P₀, una superficie può essere rappresentata con una equazione del tipo z = ƒ(x, y). Se tale funzione è dotata di derivate continue, il punto P₀ è detto ellittico, parabolico, iperbolico, a seconda che in esso le tangenti principali siano complesse coniugate, reali coincidenti, reali distinte.

È possibile stabilire una orientazione locale su una superficie regolare scegliendo un sistema di riferimento per il piano tangente in ogni punto. La superficie si dice orientabile se la famiglia di riferimenti locali è coerente, ossia se queste orientazioni locali al variare del punto sulla superficie si raccordano ovunque: fissando un’orientazione del versore normale e percorrendo una qualsiasi curva chiusa sulla superficie necessariamente si giunge al punto di partenza con lo stesso orientamento della normale. In caso contrario la superficie è detta non orientabile. Una superficie risulta orientabile se ha due facce, non orientabile se ha una sola faccia, come, per esempio, il nastro di → Möbius. Sfera, ellissoide e toro sono superfici orientabili, il nastro di Möbius e la bottiglia di → Klein non sono orientabili.

La nozione di curvatura di una superficie in un suo punto esprime una misura dello scostamento della superficie dal piano tangente in un intorno del punto. Tale scostamento può però assumere infiniti valori, poiché varia a seconda della direzione in cui è calcolato. Per darne una misura, si scelgono due direzioni privilegiate, nel modo che segue. Dato un punto P₀ di una superficie, si considerano tutti i piani passanti per la normale in P₀ alla superficie. Ciascuno di tali piani interseca la superficie lungo una curva di cui è possibile calcolare la curvatura in P₀. Il segno di ciascuna curvatura è positivo se la concavità è rivolta nel verso in cui è orientata la normale, negativo in caso contrario. I valori massimo e minimo assunti da tali curvature sono detti curvature principali della superficie in P₀ e le tangenti alle curve corrispondenti sono dette direzioni principali. Indicate con κ₁ e κ₂ le curvature principali, la somma κ₁ + κ₂ è detta curvatura media della superficie in P₀, il prodotto κ₁κ₂ è detto curvatura gaussiana o curvatura totale in P₀. Le superfici a curvatura media nulla sono dette superfici minime (→ Plateau, problema di). I punti in cui la curvatura gaussiana è positiva sono punti ellittici, i punti in cui è nulla sono punti parabolici, i punti in cui è negativa sono punti iperbolici o planari a seconda che una sola o entrambe le curvature principali risultino nulle. La semisomma delle curvature principali elevate al quadrato è riportata a volte come curvatura di Casorati. Se le curvature principali sono uguali il punto è un punto ombelico. Sotto opportune ipotesi di derivabilità vale il → Theorema egregium di Gauss, secondo il quale la curvatura totale resta invariata in ogni punto della superficie comunque si deformi rigidamente la superficie stessa.

Lo studio delle proprietà generali di una superficie quali la connessione (presenza o meno di “buchi”), l’orientabilità, la presenza di bordo o altre rientrano nell’ambito della topologia, mentre le proprietà differenziali sono studiate nell’ambito della geometria differenziale (→ superficie, proprietà differenziali di una).

Generalizzazioni

Nello spazio proiettivo l’ordine di una superficie algebrica rappresenta il numero di intersezioni della superficie con una generica retta. In ambito topologico una superficie è uno spazio topologico tale che ogni suo punto possieda un intorno omeomorfo al piano euclideo. Nell’ambito della geometria algebrica, una superficie può definirsi come una varietà di dimensione k – 1 in uno spazio di dimensione k.