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successione di funzioni

Enciclopedia della Matematica (2013)
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successione di funzioni


successione di funzioni successione {ƒn(x)} i cui termini sono funzioni. Per ogni x dell’insieme di definizione comune a tutte le funzioni, una successione di funzioni è una → successione numerica. Si dice che {ƒn(x)} converge in x0 se la successione numerica {ƒn(x0)} converge; che {ƒn(x)} converge puntualmente in un insieme E, contenuto nell’insieme di definizione comune, se converge in ogni x ∈ E. Si dice infine che {ƒn(x)} converge uniformemente a ƒ(x) in E′ ⊆ E se

formula

Se le funzioni ƒn(x) sono continue, e la successione converge uniformemente, anche la funzione limite ƒ(x) è continua. Se invece la successione converge solo puntualmente, è possibile che ƒ(x) sia discontinua. Per esempio, la successione {(2/π)arctan(nx)} converge in R alla funzione ƒ(x) = sgn(x). Se le funzioni ƒn(x) sono derivabili, si può considerare la successione derivata, i cui elementi sono le derivate degli elementi della successione data. La derivabilità della funzione limite ƒ(x) è assicurata dall’ipotesi di uniforme convergenza della successione delle derivate {ƒ′n(x)}, altrimenti può venire a mancare: per esempio la successione

formula

converge uniformemente alla funzione continua |x|, che tuttavia non è derivabile nell’origine.

La nozione di convergenza uniforme è importante nel passare al limite sotto il segno d’integrale: questo è infatti lecito sotto l’ipotesi di convergenza uniforme della successione integranda; in formula, se ƒn converge uniformemente in [a, b] allora

formula

Queste definizioni e proprietà si estendono a funzioni di più variabili.

Tag
  • INSIEME DI DEFINIZIONE
  • CONVERGENZA UNIFORME
  • FUNZIONE CONTINUA
  • DERIVABILITÀ
  • ARCTAN
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ordine órdine s. m. [lat. ōrdo ōrdĭnis]. – 1. a. Disposizione regolare di più cose collocate, le une rispetto alle altre, secondo un criterio organico e ragionato, rispondente a fini di praticità, di opportunità, di armonia, e sim.: mettere,...
successióne
successione successióne s. f. [dal lat. successio -onis, der. di succedĕre «succedere»]. – 1. Il succedere ad altri, cioè il subentrare, il prendere il posto di un altro in una carica, in un ufficio, in un titolo, nella proprietà di un...
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